Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

4 2
1.2.7. Интегрирование выражений
2
+ +
R x, ax bx c
. П одстановки Эйлера
Для нахождения интегралов
2
,
R x ax bx c dx
, где R -есть раци
, . -ональная функция своих аргументов разработано много методов Напри
, мер с помощью выделения полного квадрата в выражении ax
2
bx
c
данные интегралы заменой
2
b
x t
a
-сводятся к одному из рассмотрен
. 1.2.5 — ных в п интегралов
2 2 2 2
1 1
, , ,
или
2 2
1
,
R t A t dx
, где R
1
— , другая отличная от R, -рациональная функ
. -ция Для вычисления указанных интегралов применяются также подста
:новки Эйлера
1) если a
0, то полагают
2
ax bx c t ax
или
2
ax bx c t ax
;
2) если c
0, то полагают
2
ax bx c xt c
или
2
ax bx c xt c
;
3) если x
1
, x
2
— действительные корни квадратного трехчлена ax
2
bx
c, то полагают
2
1
ax bx c t x x
.
1.239. Вычислить
2
2 9
dx
x x x
.
Так как a
1
0, то полагаем
2
2 9 .
x x t x
Возводя обе части
, этого соотношения в квадрат получаем x
2
2x 9
t
2
2xt
x
2
. -Из по
, , следнего после приведения подобных имеем
2
2 1 9
x t t
или
2
9
2 1
t
x
t
. Тогда
2
2
2 2
2 1 9
2 9
.
2 1 2 1
t t t
t t
dx dt dt
t t
Подставляя x и dx
, , в исходный интеграл с учетом того что
2
2
9
2 9
2 1
t
x x t x t
t
2
2 9
,
2 1
t t
t
получаем
2
2
2
2 2
2
4 2 9 1
2 1 2 9 9
2 9
t t t
dx
dt
t t t t
x x x
2
2
2 2 2 9
2 arctg arctg .
3 3 3 3
9
dt t x x x
C C
t
1. Неопределенный интеграл
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы