Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

4 3
1.240. Вычислить
2
.
4 4
dx
x x x
Так как c
4
0, то полагаем
2
4 4 2
x x tx
. Возводя обе части
, этого соотношения в квадрат получаем 4 4x x
2
x
2
t
2
4xt 4. -Из по
, , следнего после приведения подобных имеем
2 2
1 4 1
x t x t
или
2
4 1
t
x
t
. Тогда
2 2 2
2 2
2 2
4 1 8 4 2 1
.
1 1
t t t t t
dx dt dt
t t
Подставляя x и dx , , в исходный интеграл с учетом того что
2
2
2 2
2 2 1
4(1 )
4 4 2 2
1 1
t t
t
x x tx t
t t
, получаем
2
4 4
dx
x x x
2
2 2
2
2 2
4 2 1 1
1 1
ln 1
2 1 2
8 1 2 1 1
t t t
dt
dt t C
t
t t t t
2
1 4 4 2
ln 1 .
2
x x
C
x
1.241. Вычислить
2
2
3 2
3 2
x x x
dx
x x x
.
Так как
2 2
3 2 3 2 1 2
x x x x x x
, т о делаем замену
2
3 2 1
x x t x
. ,Возводя обе части этого соотношения в квадрат
получаем 3x
x
2
2
(x
1)(x
2)
t
2
(x
1)
2
. Сократив на x
1, имеем
t
2
(x
1)
2
x или
2 2
1 2
t x t
. Тогда
2 2
2
2 2 2
2 2
2 1 2 2
2 2
, .
1
1 1
t t t t
t t
x dx dt dt
t
t t
Подставляя x и dx , , в исходный интеграл с учетом того что
2
2
2 2
2
3 2 1 1
1 1
t t
x x t x t
t t
,
2
2
2 2
2
3 2
1 1
t t
x x x
t t
2
2
2
,
1
t t
t
получаем
2
2 2
2
3
2
2 2
2 1 2
3 2
3 2
2 1
t t t t
x x x
dx dt
x x x
t t t
2
2 2
2
2 .
2 1
t t
dt
t t
, Раскладывая на простые дроби имеем
1.2. Приемы нахождения неопределенного интеграла
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы