Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

4 5
1.2.8. , Интегрирование выражений содержащих
тригонометрические функции
Для интегрирования рациональных функций вида R (sinx, cosx) -при
меняют подстановку
tg ,
2
x
t
-которая называется универсальной триго
. нометрическ ой подстановк ой Тогда x 2 arctg t,
2 2
2 2
, sin ,
1 1
dt t
dx x
t t
2
2
1
1
t
x
t
, -К сожалению универсальная тригонометрическая под
. -становка часто приводит к большим вычислениям Поэтому по возможно
. сти пользуются следующими подстановками Есл и
( sin , cos )
R x x
(sin ,cos )
R x x
, то делают замену cos x
t и тогда
sin
xdx dt
. При
(sin , cos ) (sin ,cos )
R x x R x x
полагают sin x
t, при этом cosxdx dt,
а в случа е
( sin , cos ) (sin , cos )
R x x R x x
д елают замену tg x t, при
которой x arctg t,
2
2 2
1
, sin , cos ,
1
1 1
dt t
dx x x
t
t t
или ctg x t.
.Проиллюстрируем сказанное примерами
1.249. Вычислить
2 3
cos 4 sin 4 .
x x dx
Так как при смене знака у функции sin 4x подынтегральная функция
, меняет знак то делаем замену cos4x t. Тогда 4sin 4xdx dt, поэтому
5 3 5 3
2 3 2 2
1 cos 4 cos 4
cos 4 sin 4 1 .
4 20 12 20 12
t t x x
x x dx t t dt C C
1.250. Вычислить
3
6
cos 5
.
sin 5
x
dx
x
Так как при смене знака у функции cos 5x подынтегральная функция
, , меняет знак то делая замену sin 5x t, получаем
2
3
6 6 6 4 5 3
5 3
1
cos 5 1 1 1 1 1
5 5 5
sin 5 25 15
1 1
.
25 sin 5 15 sin 5
t dt
x dt dt
dx C
x t t t t t
C
x x
1.251. Вычислить
4
1
cos 3
dx
x
.
Так как при смене знака у функций cos 3x и sin 3x подынтегральная
, функция не меняет знак то делаем замену tg 3x t. Тогда
1
arctg ,
3
x t
1.2. Приемы нахождения неопределенного интеграла
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы