Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

6 4
2.71. Выяснить сходимость интеграла
7
1
0
ln 1 2
.
x
dx
x
Подынтегральная функция имеет особенность в точке x 0. Находя
порядок роста этой функции относительно
1 ,
x
имеем
7 7
7
6
70 0
, 6 7 ;если
ln 1 2 2ln 1 2
lim lim 2, 6 7 ;если
2
x x
x x x x
x
x x
, Таким образом порядок роста раве н
6 7
и .интеграл сходится
2.72. Выяснить сходимость интеграла
1
sin
0
1
.
x
e
dx
x
Подынтегральная функция имеет особенность в точке x 0. Находя
порядок роста этой функции относительно
1 ,
x
имеем
sin sin
0 0
, 0,5;если
1 1 sin
lim lim 1, 0,5;если
sin
0, 0,5.если
x x
x x
x e x e x
x
x x x
, 0,5 .Таким образом порядок роста равен и интеграл сходится
2.73. Выяснить сходимость интеграла
2
1
.
2 ( 1)
dx
x x
Подынтегральная функция имеет особенность в точках x 2 и x 1.
. ,Обе входят в промежуток интегрирования Разбиваем интеграл на два
, :например следующим образом
1,5
2 2
1 1 1,5
.
2 ( 1) 2 ( 1) 2 ( 1)
dx dx dx
x x x x x x
, -Первый из этих интегралов расходится так как порядок роста подынтег
ральной функции при x 1 относительно
1
1
x
1, — -равен а второй схо
, дится так как порядок роста подынтегральной функции при x 2 -отно
сительно
1
2
x
равен
1
.
2
Так как одно из слагаемых есть интеграл
, .расходящийся то и исходный интеграл расходится
Задачи для самостоятельного решения
, Используя теорему сравнения выяснить сходимость следующих
. ( : , несобственных интегралов В ответе указаны точка в которой функция
; бесконечно большая порядок роста подынтегральной функции относительно
; .)пробной функции сходимость
2.74.
3
2
3
2
.
9 3
dx
x x
2.75.
3
0
.
sin
x x
dx
x
2.76.
2
3
2
0
tg
.
x
dx
x
2. Определенный интеграл
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы