Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

7 1
2.4.6. Вычисление работы
Пусть переменная сила f(x),
[ , ],
x a b
направлена под углом (x)
. к направлению движения Разобьём отрезок
[ , ]
a b
на части точками
0 1
... .
n
a x x x b
Пусть x
i
x
i1
x
i
, i
0,
1,
...,
n
1. Тогда работа
под действием силы f(x) по перемещению материальной точки из начала
в конец отрезк а
,
x x x
равна
cos ,
i i i i
A f x x x
% %
где
i
x
%
—
некоторая точка отрезк а
,
x x x
. С -уммируя по всем участкам разбие
, -ния и переходя к пределу по всевозможным разбиениям получаем вели
-чину работы по перемещению материальной точки из начала в конец от
резка
[ , ]
a b
, равную
( ) cos ( ) .
b
a
A f x x dx
Если направление силы совпадает
, с направлением движения т о
cos ( ) 1
x
и тогда работа равна
( ) .
b
a
A f x dx
2.100. , , Вычислить работу которую нужно совершить чтобы выкачать
, воду из заполненного до краёв резервуара имеющего форму параболоида
9 3 . вращения высотой м и радиусом основания м Плотность воды
10
3
/кг м
3
, ускорение свободного падения g
9,81 /м с
2
.
. Поместим начало координат в вершину параболоида Ось OZ -напра
. вим вдоль оси вращения Тогда уравнение параболоида будет иметь вид
2 2
.
z a x y По условиям задачи a
1. , -Следовательно радиус окружно
, сти образованной пересечением параболоида плоскостью z
const, будет
раве н
R z
, а площадь этой окружности равна
2
.
S R z
Заменим
, объём тела заключённый между плоскостями z
const и z z const,
объёмом цилиндра радиус а
z
и высотой z, который равен
V z z
 
.
, , Масса жидкости заключённая в этом объёме равна
.
M V z z
 
Для подъема этой жидкости на высоту h z 9 z требуется выполнить
работу
(9 ) (9 )
A Mg z gz z z

. Вся работа по выкачиванию воды
из резервуара равна
9
9
3
2
0
0
9 729 729
(9 )
2 3 2 3
243
3742613,1 .Дж
2
z
A gz z dz g z g
g
  

Задачи для самостоятельного решения
2.101. , Найти площадь фигуры ограниченной линиями y e
2x
, x –1,
x 2, y 0.
2.4. Приложения определенного интеграла
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы