Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

73
3. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
3.1. Определение и свойства
. 3.1 [5]. Предварительно рекомендуется прочитать подразд из Общее
[5]. , -определение дано в Для иллюстрации как из него получить конкрет
ное определение при фиксированном n, -ниже дадим определение двойно
. .го интеграла Вначале напомним одно понятие
Пусть D R
n
— . некоторое множество Диаметром этого множества
назовем число
,
sup ( , )
x y D
d x y
, где (x, y) — расстояние между точками
x и y.
Пусть функция f(x, y) определена и ограничена в области
D R
2
. Разобьем область D , -на части кривыми пронумеруем полу
ченные элементарные области D
i
, выберем внутри каждой из них по
точке
i
,
i
и составим сумму
1
0
, ,
n
i i
i
i
f D
где
i
D
— -пло
щадь области D
i
. -Предел полученных сумм по всевозможным разби
, , -ениям если этот предел существует не зависит от способа разбие
, ния способа выбора точек
,
, п , ри условии что максимальный
, из диаметров элементарных областей стремится к нулю называется
двойным интегралом от функции f(x,y) и обозначается
( , )
D
f x y dxdy

,
а функция f(x, y) .называется интегрируемой по Риману
-Определение тройного интеграла получается из общего по тем же прин
, . -ципам что и определение двойного Предлагается сформулировать его са
.мостоятельно
Всюду далее будем обозначать тройной интеграл от функции f(x, y, z)
( , , ,)
D
f x y z dxdydz
, кратный интеграл от функции f(x) —
( )
D
f x dx
, где
1 2
, ,...,
n
x x x x
— n- .мерный вектор
.Кривую или поверхность будем называть многообразием
-Отметим наиболее часто используемые при вычислении кратных ин
тегралов свойства при условии существования всех используемых ниже
.интегралов
1. Если область D разбита на две области D
1
, D
2
, так что D D
1
D
2
и D
1
,
D
2
, пересекаются лишь по многообразию разбиения то
1 2
( ) ( ) ( )
D D D
f x dx f x dx f x dx
.
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы