Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

74
2.
( ) ( ) ( ) ( ) .
D D D
f x g x dx f x dx g x dx
3.
( ) ( ) .
D D
k f x dx k f x dx
[5] -Остальные свойства можно найти в и других книгах по интеграль
. .ному исчислению Классы интегрируемых функций описаны там же
3.2. Вычисление кратных интегралов
3.2.1. Вычисление двойных интегралов
, -Вычисление кратных интегралов при сформулированных ниже усло
виях на функцию f(x), -сводится к последовательному нахождению опре
[5].деленных интегралов с помощью повторных интегралов
Пусть D — , -криволинейная трапеция ограни
ченная линиями x a, x b, y y
1
(x), y y
2
(x), и
при этом выполнено неравенство y
1
(x) y
2
(x), -фун
кция f(x, y) интегрируема в D.
, Предположим что для всякого x [a, b]
существует интеграл
2
1
( )
( )
y x
y x
f x y dy
.
Тогда для двойного интеграла
( , )
D
f x y dxdy

имеет место соотношение
2 2
1 1
( ) ( )
( ) ( )
( , ) ( , ) ( , ) .
y x y x
b b
D a y x a y x
f x y dxdy f x y dy dx dx f x y dy
(3.1)
, Для криволинейной трапеции ограниченной
линиями y c, y d, x x
1
(y), x x
2
(y), x
1
(y) x
2
(y)
для всякого y [c, d], если функция f(x, y) -интег
рируема в D и для всякого y [c, d] существует
интеграл
2
1
( )
( )
x y
x y
f x y dx
, то имеет место формула
2 2
1 1
( ) ( )
( ) ( )
( , ) ( , ) ( , ) .
x y x y
d d
D c x y c x y
f x y dxdy f x y dx dy dy f x y dx
(3.2)
, (3.1) (3.2), -Интегралы стоящие в правых частях формул и называют
. , ся повторными Таким образом для вычисления кратных интегралов
. , -необходимо уметь представлять их в виде повторных Заметим что поря
y
x
a
b
y
1
(x)
y
2
(x)
x
d
c
y
x
2
(y)
x
1
(y)
3. Кратные интегралы
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы