Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

90
3.31. Вычислить интеграл
2 2
3
,
9 4
D
x y
dxdy
где D — , -область задан
ная неравенствами
2 2
2 2
4 9 36, , .
3 3 3
x y y y x
, Область интегрирования есть часть эллипса поэтому удобно сделать
замену x
3 cos , y
2sin . Уравнения границ в новых координатах
имеют соответственно вид 1,
tg 3
и
1
tg .
, Поэтому когда
, точка пробегает область переменная меняется
в пределах 0
1, а переменная — -в преде
лах от значения
0
1
arctg
6
3
-до зна
чения
1
arctg 3 .
-Пересчитывая подын
, тегральную функцию в новых координатах имеем
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
3
3 3
3
3
9 cos 4 sin
cos sin .
9 4 9 4
x y
Модуль
якобиана перехода равен
3 2 6 .
J
Поэтому
2 2
3
9 4
D
x y
dxdy
1
2 5 5 5 8
1 1 1 1
3 3
3
3 3 3 3 3
0 0 0 0
6
0
6 6
3 9
6 6 6 3 3 .
8 8
d d d d d d
3.32. Вычислить интеграл
4
4
,
D
x y dxdy
где D — , -область задан
ная неравенствам и
81
9 4 12, , 0.
4
x y y y
6,Разделив обе части первого неравенства на
можно переписать его в виде
2.
4 9
x y
Это
наталкивает на применение замен ы
4
4 cos ,
x
4
9 sin .
y
Т огда уравнение границы
2
4 9
x y
можно записать в виде
2 2
cos sin 2.
4 9
x y
, ,Или что то же самое
4. -Урав
2
3
y
x
3. Кратные интегралы
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы