Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

92
,Иногда бывает удобно перейти к криволинейной системе координат
.отличной от рассмотренных выше
3.33. Вычислить интеграл
2 ,
D
x y dxdy

где D — внутренность
параллелограмма со сторонами 3x y
1
0, 3x
y
1
0, 3x
2y
0,
3x
2y
1
0.
-При расстановке пределов интегрирования в декартовой системе коор
. динат приходится разбивать область интегрирования на три Введение
новых переменных по формулам u
3x
y, v
3x
2y позволяет проще
. вычислить этот интеграл При этом
2
,
3
u v
x y u v
, и когда точка
(x, y) , пробегает параллелограмм то u и v меняются в предела х
1 1,
u
0 1.
v
П одынтегральная функция в координатах u и v приобретает вид
4 2
2 .
3 3
u v u v
x y u v
(Определитель матрицы Якоби якобиан
) перехода равен
x x
u v
J
y y
u v
2 3 1 3
2 1 1
.
1 1
3 3 3
Тогда
1
,
3
J
1
1 1 1 1
2
0
1 0 1 1
1 1 1 1 1
2
3 3 9 2 9 2
D
u v
x y dxdy du dv uv v du u du
1
2
1
1 1 1 1 1 1 1
.
9 2 2 9 2 2 2 2 9
u u
3.34. Вычислить интеграл
,
D
xdxdy
где D — , -область заданная нера
венствам и
, 4 , 1, 9.
y x y x xy xy П ереписав уравнения прямых
y x, y 4x, , на которых лежит часть границы области в форм е
1,
y
x
4,
y
x
в , идим что удобно сделать замену переменны х
, .
y
u xy v
x
Так
как данную область можно задать неравенствам и
4 , 1 9,
x y x xy
т о переменные u и v меняются соответственно в пределах
1 9,
u
1 4.
v
В , ыражая старые переменные через новые получае м
,
u
x
v
.
y uv
П одынтегральная функция в новых переменных принимает вид
.
u
x
v
( ) Якобиан перехода определитель матрицы Якоби равен
3. Кратные интегралы
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы