Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

93
3
3
1
2
1
2
.
2
4
4
2 2
u
u u
x y uv
u u v
v
J
v v
v
uv v
v u u v
x y
u v
Поэтому
4
1 1
9 4 9 4 9
2 2
3 1
1 1 1 1 1
2 2
1
2
2
2 2
D
u u u
xdxdy du dv du dv du
v v
v v
9
3
9 9
2
1 1
1
2 1 2
9 8 .
2 2 2 3 3 3
u u u
u du du
3.35. Вычислить интеграл
,
D
dxdy
x y

где D — , -область заданная нера
венствами
2 2 2 2
4 , 9 , , 4 .
y x y x x y x y
Переписав уравнения границ
в виде
2 2 2
4, 9, 1,
y y x
x x y
2
4,
x
y
, видим что удобно сделать замену
2 2
, .
y x
u v
x y
Тогда
4 9, 1 4.
u v Выражая x и y через u и v,
получаем
2 4 2 3
2 4 2
3
2
1 1
, , , , ,
y
x vy u y v u y y y
v y uv
3 3
2 4 2
1 1
.
x v
u v u v
( , , ,Якобиан определитель производной матрицы или что тоже самое
) матрицы Якоби равен
5 3 1 3 2 3 4 3
4 3 2 3 1 3 5 3
6 3 6 3 6 3 6 3 6 3 6 3 2 2
2 1
3 3
1 2
3 3
4 1 3 1
.
9 9 9 3
x x
u v u v
u v
J
y y
u v u v
u v
u v u v u v u v
Подынтегральная функция в новых координатах принимает вид
3 3
2 4 4 2 2 2
2 2
1
.
u v u v u v
x y
Тогда
9 4
2 2 2 2
2 2
4 1
1
3
D
dxdy
du u v u v dv
x y

9 4 9 9
4 9
1 4
4 1 4 4
1 1 1
3 5.
3 3 3
du dv v du du u
3.3. Замена переменных в кратных интегралах
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы