Математические методы в библиотечной работе. Елизаров А.М - 38 стр.

   Отношения „больше" и „старше"— примеры анти-
симметричных отношений. Их графы содержат стрелки
лишь из одних вершин в другие, но не допускают
стрелок, проведенных в обратном направлении.
   Наконец, приведем определение последнего рас-
сматриваемого нами свойства бинарных отношений.
   Определение 5. R навивается транзитивным
отношением на множестве М, если для любых трех
элементов х, у и z множества M uз того, что xRy
и yRz, следует xRz.
   Все отношения, приведенные ранее в примерах,
обладают этим свойством. Например, пусть слово х
синонимично слову у, а слово у синонимично слову z.
Тогда, очевидно, слово х является синонимом и для z,
что доказывает транзитивность отношения синонимии.
   Примером нетранзитивного отношения может слу-
жить сходство слов. Будем говорить, что ,,х сходно у",
если слова х и у состоят из одного и того же числа
букв и отличаются лишь одной буквой. Так, мука
сходно мура, мура сходно мера, но уже неверно,
что мука сходно мера — различие в две буквы!
   Отличительной особенностью графа транзитивного
отношения является то обстоятельство, что наряду
со стрелками, соединяющими вершины х и у, у и z,
обязательно имеется стрелка, идущая из вершины х
в вершину z (рис. 21).
   2. Равенство. Мы переходим к изучению основных
бинарных отношений, которые обладают одновремен-
но несколькими свойствами, описанными ранее.
   Определение 1. Отношение R на множестве М
называется равенством (или эквивалентностью),
если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Отношение равенства ,,х = у", заданное на множестве
чисел, обладает всеми перечисленными в определении
1 свойствами и, следовательно, является отношением
эквивалентности. Другим примером эквивалентности
является отношение синонимии.
   Граф отношения эквивалентности обладает всеми
характерными особенностями для рефлексивных, сим-
метричных и транзитивных отношений: в каждой вер-
шине имеется петля; он состоит из ребер, т. е. стрелки
проведены в обе стороны; вместе с ребрами, соеди-
няющими вершины х, у и у, z, в графе имеются ребра,
соединяющие вершины х и z (рис. 22).
38