Математические методы в библиотечной работе. Елизаров А.М - 60 стр.

бессмертного человека, т. е. должно быть истинным
высказывание „Существует человек, который не смер-
тен". Мы видим, что отрицание высказывания с
квантором всеобщности и предикатом „смертны"
привело нас к высказыванию с квантором существо-
вания и отрицанием предиката „смертны". Докажем
общее утверждение, подсказанное примером.
   Теорема. Правило отрицания высказываний с
кванторами описывается следующими равносиль-
ностями:




   Доказательство. Начнем с первой равносиль-
ности. Пусть высказывание х X Р(х) истинно,
тогда           ложно. Это означает, что нет
элементов а X, которые не обладали бы свойством
Р(а).   Следовательно,     свойство           не
выполняется ни для одного элемента а X, т. е.
высказывание      х X     ложно.    Значит,  для
            и    х X      значения истинности в
данном случае совпадают.

   Пусть теперь высказывание х X Р(х) оказалось
ложным. Для этого достаточно, чтобы нашелся хотя
бы один элемент а X, для которого Р(а) ложно.
Но тогда      истинно и таким же является выска-
зывание х X        Так как отрицание ложного
высказывания х X Р{х) истинно, то и во втором
случае выписанные высказывания имеют одинаковые
значения истинности. Поэтому они равносильны.
   Для доказательства второй равносильности пере-
обозначим (х) через Q(x), возьмем отрицание
обеих частей первой равносильности и воспользуемся
законом двойного отрицания (АЛ8) .
   3. Множества истинности. Между множествами и
высказываниями уже не раз отмечалась тесная взаимо-
связь. Сейчас мы изучим эту аналогию более деталь-
но. Введем следующее
   Определение 1. Совокупность МА значений
переменной х из множества X, при которых выска-
зывательная форма А(х) истинна, называется мно-
жестеом истинности этой формы.
60