Математические методы в библиотечной работе. Елизаров А.М - 62 стр.

 ЕДИНОЙ теории (ее называют булевой алгеброй) на
языке теории множеств и на языке исчисления выска-
зываний. Поэтому можно получать результаты, ка-
сающиеся одних объектов (например, множеств), а
затем формулировать их как утверждения о других
объектах (например, высказываниях).
    Например, все логические операции можно изобра-
жать на диаграммах Эйлера — Венна, причем выска-
зывания будут изображаться кругами на плоскости, а
операциям над ними будут соответствовать те или
иные части этих кругов. Другим применением указан-
ного соответствия может служить
     Теорема. Высказывательные формы равносиль-
ны тогда и только тогда, когда их множества
истинности совпадают.
    Доказательство. Предположим, что А(х)
     В(х). В этом случае для соответствующих значе-
ний а высказывания А (а) и В (а) либо одновременно
истинны, либо ложны. Но отсюда следует, что а од-
новременно либо включается в множества М А и МВ,
либо не включается. Значит, М А=М В .
    Докажем обратное. Пусгь а МА = МВ. Тогда
 высказывания А (а) и В (а) истинны. Если же а М А =
 =МВ, то А (а) и В (а) ложны. Поэтому А(х) и В(х)
при любых значениях х принимают ОДНИ И те же
значения истинности, т. е. А(х)    В(х) .
    Что соответствует случаю включения одного мно-
жества ИСТИННОСТИ в другое? Рассмотрим эту ситуа-дию
детальнее. Пусть М А М В . Это означает, что любой
элемент а множества МА содержится в МВ. На языке
логики это можно переформулировать так: для всех
значений а МА из того, что истинно высказывание А
(а), следует» что истинно высказывание В (а). В
подобных случаях говорят, что высказыва-тельная
форма В(х) логически следует из А(х), и обозначают А
(x) В (х). Если А (х) В (х) и В (х)
     А(х), то выполнены сразу два включения
М А М B и МB МА, которые означают равенство МА =
МВ. Но, как показано в теореме, тогда А(х) В(х).
Таким образом, если А В и В А, то А В.


62