Математические методы в библиотечной работе. Елизаров А.М - 94 стр.

не нужно (более того, ее можно доказать, исходя из
аксиом 1— 3). Покажем возможности применения вве-
денных аксиом для построения теории вероятностей
на множествах с конечным числом элементарных со-
бытий с неравновозможными исходами.
     Теорема 1. Пусть А — некоторое событие из
U={e 1 , e 2 , ... , е п }. Тогда: а) для пустого множества
А=Ø вероятнос ть Р(Ø) = 0;
     в) для непустого множества А вероятность Р(А)
равна сумме вероятностей элементарных событий,
доставляющих А.
     Доказательство. Убедимся в справедливо-
сти а). Пусть А = Ø. События U и Ø несовместны .
(т. к. U∩Ø = Ø), следовательно, по аксиоме 3 P(U) =
= Р (U Ø)=P(U)+P (Ø), отку да находим Р (Ø) =
=P(U) - P(U) =0.
    Докажем в). Пусть теперь А=Е1 ... Ет, где
Ek={eik}, k = 1, ... , т — элементарные события. Если
m =1, то А = Е 1 и P(A)=P(E 1 ). Если т = 2, то А =
Е1 Е2 и Е1∩Е2=Ø. Тогда аксиома 3 дает нам P(A) =
= P(Е1 Е2) = Р(Е1) + Р(Е2). Доказательство для любого
т можно провести, используя метод математической
индукции ■.
   Приведенная теорема позволяет вычислять веро-
 ятность событий сразу же после того, как заданы
 вероятности элементарных событий.
      Пример. Вернемся к опыгу с волчком из п. 1.
 Множество элементарных событий состоит из А —
 ,, волчок упал острием вниз" и В =„волчок упал
 острием вверх", причем А и В неравновозможны.
 Предположим, что из каких-то соображений (стати
 стических или других) мы приписали элементарному
 событию А вероятность р. Покажем, что в этом
 случае легко определить вероятности всех остальных
 событий.
      События А и В несовместны, значит, Р(А В) =
 =Р(А)+Р(В). Но для данного опыта A B=U,
 следовательно, 1 =Р(U)=Р(А) +Р(В), откуда Р(В)=
 =1—Р(A)=1—p.
      Событие А∩В=Ø, для него P(A∩B) =0. Нако-
 нец, Ā=В, а = A, поэтому Р(Ā)= 1 — р, а Р( )=р.
 Других событий в опыте нет — слишком уж бедно
 множество элементарных событий.

94