Математические методы в библиотечной работе. Елизаров А.М - 95 стр.

   В предыдущем параграфе (п. 2) были доказаны две
теоремы сложения. Анализ проведенных доказательств
показывает, что мы использовали только три свойства
вероятности, которые сформулировали теперь в ка-
честве аксиом. Следовательно, эти утверждения спра-
ведливы и в общем случае. Отметим для полноты
их еще раз.
   Теорема 2. Для любых двух событий А, B
Р(А B) = P(A) + P(B)-P(A∩B).
   Теорема 3. Для события Ā вероятность Р (Ā) =
=1 - Р ( A ) .
   Отметим еще одно полезное утверждение, легкое
доказываемое с помощью метода математической ин-
дукции с использованием аксиомы 3.
   Теорема 4. Если A 1 , ... , А п — попарно несов-
местны, то Р(А1 .. . Ап) = Р(А1) + ... + Р(Ап).
   3. Полная вероятность и фоpмула Байеса. Поня-
тия зависимости и независимости случайных событий,
подробно рассмотренные в п. 3 § 7, также обоб-
щаются на произвольный случай. При этом формаль-
ное определение независимости остается точно та-
ким же; А и В независимы, если Р(A∩B) = Р(А)•Р(В).
Приведем без доказательства утверждение о незави-
симых событиях.
   Теорема 1. Если события А и В независимы,
то независимы также события Ā и В, А и В, Ā и В.
   Понятие условной вероятности события А, при
условии, что произошло событие В, также определя-
ется в общем случае как Р(А|В) = Р(А∩B)/Р(В).
При этом свойства условной вероятнссти, отмеченные
ранее, имеют место и в абстрактнoй теории вероят-
ностей: для независимых событий Р(А|В) = Р(А),
Р(В|А) = Р(В).
     В качестве применения понятия условной вероят-
 ности докажем формулу полной вероятности.
     Теорема 2. Пусть А — некоторое событие, В1, B2,
... , Вп — попарно несовместные с положительными
вероятностями, такиее, что А В 1 В 2 ... В n . Тогда
Р(А) = Р(А|В 1 )•Р(В 1 ) + ... + Р(А|В п )•Р(В п ).
     Доказательство. Из условий теоремы следует,
 что событие А можно представить в виде:
   А = А∩(В 1 ... B n )|=(A∩B 1 ) (A∩B 2 )... (A∩B n ).

                                                     95