Дискретная математика. Ерош И.Л - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

42
(a
0
+ ia
1
+ ja
2
+ ka
3
) · (b
0
+ ib
1
+ jb
2
+ kb
3
) =
= (a
0
b
0
– a
1
b
1
– a
2
b
2
– a
3
b
3
) + i(a
0
b
1
+ a
1
b
0
+ a
2
b
3
– a
3
b
2
) +
+ j(a
2
b
0
+a
0
b
2
+ a
3
b
1
– a
1
b
3
) + k(a
3
b
0
+ a
0
b
3
+ a
1
b
2
– a
2
b
1
). (1)
Таким образом, в результате умножения двух кватернионов полу
чен также кватернион (выполняется замкнутость множества кватер
нионов относительно такой операции умножения). Ассоциативность
умножения кватернионов следует из того, что коэффициенты принад
лежат полю действительных чисел. Нейтральным кватернионом по
умножению будет кватернион вида e = 1 + i0 + j0 + k0 = 1. Для любого
кватерниона (кроме нулевого) имеется обратный кватернион
12
1
012 3
01 2 3
2222
0123
aiajaka
aiajaka
aaaa
33 3
44 4 5
444
.
Проверим, выполняется ли аксиома коммутативности умножения ква
тернионов. Для этого перемножим кватернионы в обратном порядке:
(b
0
+ ib
1
+ jb
2
+ kb
3
) · (a
0
+ia
1
+ja
2
+ka
3
) =
= (b
0
a
0
– b
1
a
1
– b
2
a
2
–b
3
a
3
) + i(b
1
a
0
+ b
0
a
1
+ b
2
a
3
– b
3
a
2
) +
+ j(b
2
a
0
+ b
0
a
2
+ b
3
a
1
– b
1
a
3
) + k(b
3
a
0
+ b
0
a
3
+b
1
a
2
– b
2
a
1
). (2)
Из сравнения (1) и (2) следует, что операция умножения кватерни
онов не коммутативна.
Таким образом, множество кватернионов K с операцией умножения
не образует группу, так как для нулевого кватерниона не существует
обратного по умножению. Однако то же множество K с исключенным
нулевым кватернионом, т. е. K/0, образует некоммутативную группу.
2. Постройте кольцо полиномов с коэффициентами из поля действи
тельных чисел без ограничения максимальной степени полиномов. Об
ратите внимание, как в этом случае вводится операция умножения по
линомов.
Ответ: Полиномом произвольной (неограниченной) степени назы
вают многочлен вида R(X) = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ a
3
x
3
+...
Для таких полиномов операция сложения и умножения вводится «ес
тественным» образом, т. е. путем почленного сложения и умножения ко
эффициентов при соответствующих степенях. При этом замкнутость по
умножению выполняется, так как максимальная степень полинома не
ограничивается. Нейтральным полиномом по сложению является нуле
вой полином, т. е. e = 0 + 0x + 0x
2
+ 0x
3
+... = 0. Нейтральным по умно
жению полиномом является единичный полином, т. е. e = 1 + 0x + 0x
2
+
+ 0x
3
+... = 1.

Страницы