Дискретная математика. Ерош И.Л - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

44
ным пространством с группой G, поскольку любые две точки сферы со
вмещаются некоторым вращением. Группа G будет транзитивна на
каждой сфере.
3.2.2. Подгруппы. Стационарные подгруппы
Часть элементов G
1
группы G, удовлетворяющая аксиомам группы,
называется подгруппой G
1
группы G.
Пример 1. Группа всех действительных чисел R с операцией сложе
ния (R, +) содержит подгруппу всех целых чисел Z с той же операцией
(Z, +).
Пример 2. Группа всех комплексных чисел с исключенным 0 и опе
рацией умножения, т. е. (C/0, ·), содержит в качестве подгруппы груп
пу (R/0, ·).
Пример 3. Группа всех движений плоскости с координатными ося
ми содержит подгруппы смещений вдоль одной и другой оси и подгруп
пу вращения плоскости вокруг некоторого неподвижного центра.
Пусть G – транзитивная группа преобразований пространства U,
a – некоторая фиксированная точка этого пространства. Рассмотрим
все элементы h группы G, оставляющие точку a на месте, т. е. такие,
что ha = a. Одним из таких элементов является нейтральный элемент,
так как ea = a. Множество таких элементов {h} обозначим через H. По
кажем, что H – группа, причем H является подгруппой группы G.
Действительно, ассоциативность обеспечивается тем, что элементы
h являются также и элементами G. Нейтральный элемент e входит в
выбранное множество {h}. Остается показать, что для любого элемен
та h Î H обратный элемент h
–1
также принадлежит H, т. е. оставляет
точку a на месте. Это следует из соотношений ha = a; h
–1
ha = h
–1
a = a.
Таким образом, множество элементов {h} образует подгруппу H груп
пы G, которая называется стационарной подгруппой группы G точки
a и обозначается H
a
.
Если преобразование g Î G переводит точку a в некоторую точку x,
т. е. x = ga, то все остальные преобразования g
1
, переводящие a в x,
имеют вид g
1
= gh, где h Î H. Множество таких преобразований gh,
h Î H, g Î G называется левым смежным классом gH группы G по под
группе H. Поскольку группа G транзитивна в пространстве U, то этим
устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками x
пространства U и левыми смежными классами по H. Преобразование
x –> gx при этом соответствии переходит в умножение слева на g: если
точке x соответствует смежный класс g
1
H, то точке gx соответствует
смежный класс gg
1
H. Заметим, что стационарная подгруппа H не оп
ределяется однозначно заданием однородного пространства U, а зави
сит еще и от выбора точки a.

Страницы