Дискретная математика. Ерош И.Л - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

46
Ассоциативность умножения классов вытекает из ассоциативнос
ти умножения в группе G. Единичным элементом группы классов слу
жит сама подгруппа G
1
. Действительно: G
1
(gG
1
) = (eG
1
)(gG
1
) = egG
1
= gG
1
;
(gG
1
)G
1
= (gG
1
)(eG
1
) = geG
1
= gG
1
.
Обратным элементом к классу gG
1
будет класс g
–1
G
1
, так как
gG
1
g
–1
G
1
= gg
–1
G
1
= eG
1
= G
1
, g
–1
G
1
gG
1
= g
–1
gG
1
= eG
1
= G
1
.
Полученная группа обозначается G/G
1
и называется фактор+груп+
пой (группой классов) группы G по нормальному делителю G
1
.
Пример 1. На числовой оси выделим все целые числа, кратные, на
пример, числу 3. Их количество бесконечно и счетно. Обозначим класс
этих чисел через A
0
. Образуем теперь два класса чисел вида A
1
= a + A
0
и A
2
= b + A
0
, где a = 1 mod 3, b = 2 mod 3. Классы A
1
и A
2
не зависят от
выбора конкретных предствителей a и b и определяют все целые чис
ла, сравнимые соответственно с 1 и 2 по модулю 3. Классы A
0
, A
1
и A
2
образуют группу, что легко проверяется. Эта группа и есть фактор
группа группы целых чисел с операцией сложения по нормальному де
лителю – группе целых чисел, кратных 3.
Пример 2. Возьмем множество N
7
/0 = (1, 2, 3, 4, 5, 6) и операцию
· mod 7. Эта пара образует коммутативную группу G. Подмножество мно
жества N
7
/0, состоящее из 2х элементов (1, 6), также образует группу с
этой операцией, т. е. является подгруппой G
1
исходной группы G.
Покажем, что пара (1, 6; · mod 7) является нормальным делителем
в группе G. Выпишем для каждого элемента группы G соответствую
щие обратные элементы: 1
–1
= 1; 2
–1
= 4; 3
–1
= 5; 4
–1
= 2, 5
–1
= 3, 6
–1
= 6 и
левые смежные классы: 2G = (2, 5); 3G = (3, 4); 4G = (4, 3); 5G = (5, 2).
Условие gGg
–1
= G проверяется тривиально.
Таким образом, имеется три различных смежных класса, которые
образуют факторгруппу с операцией умножения по модулю 7: (1, 6),
(2, 5), (3, 4).
3.2.5. Прямое произведение нормальных делителей
Пусть G – некоторая группа, имеющая два взаимно простых нор
мальных делителя H и K. Две группы называются взаимно просты+
ми, если не содержат общих элементов, кроме e.
Докажем несколько полезных свойств, которыми обладает такая
модель.
Произведения из элементов групп H и K перестановочны. Действи
тельно, рассмотрим выражение hkh
–1
k
–1
= (hkh
–1
)k
–1
= h(kh
–1
k
–1
).
С одной стороны, hkh
–1
Î K и (hkh
–1
)k Î K, с другой стороны, kh
–1
k
–1
Î H
и h(kh
–1
k
–1
) Î H. Следовательно, hkh
–1
k
–1
= e, откуда hk = kh.
Совокупность произведений hk, где h пробегает всю группу H, а k –
всю группу K, образует группу, так как, если hh¢ = h² и kk¢ = k², то

Страницы