Дискретная математика. Ерош И.Л - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

47
(hk¢)(h¢k) = hh¢kk¢ = h²k² – замкнутость. Нейтральный элемент ee = e.
Кроме того, (hk)
–1
= k
–1
h
–1
= h
–1
k
–1
. Эта группа называется прямым
произведением групп H и K и обозначается H´K.
Отметим важное свойство такой группы. Всякий элемент прямого
произведения разлагается в произведение множителей одним един
ственным образом. Действительно, если бы имело место hk = h¢k¢, то
hkk
–1
= h¢k¢k
–1
= h, k¢k
–1
= (h¢)
–1
h. Однако, поскольку эти группы вза
имно просты, следовательно, k¢k
–1
= e ® k¢ = k и (h¢)
–1
h = e ® h = h¢.
3.2.6. Группы Ли на плоскости
В работах Ли эти группы названы непрерывными.
Пусть задано nмерное пространство; (x
1
, x
2
, x
3
,..., x
n
) – координа
ты некоторой точки в этом пространстве. Пусть в пространстве действу
ет преобразование f, которое меняет положение точек по некоторому
правилу:
x
1
® f
1
(x
1
, x
2
, x
3
,..., x
n
, a
1
, a
2
,..., a
r
);
x
2
® f
2
(x
1
, x
2
, x
3
,..., x
n
, a
1
, a
2
,..., a
r
);
...
x
n
® f
n
(x
1
, x
2
, x
3
,..., x
n
, a
1
, a
2
,..., a
r
),
где f
1
, f
2
,..., f
n
– непрерывные функции, аналитические или дифферен
цируемые столько раз, сколько это требуется. Переменные a
1
, a
2
,..., a
r
называются параметрами преобразования. Придавая этим параметрам
различные значения, получим разные элементы группы преобразова
ний nмерного пространства. Непрерывность группы определяется не
прерывностью изменения ее параметров. При цифровой обработке как
само пространство, так и параметры группы меняются дискретно.
Рассмотрим двумерное пространство (плоскость). Группы Ли на
плоскости делятся на два класса: примитивные и импримитивные.
Примитивные группы.
a. Проективная группа задается системой уравнений
123
45
678
45
;
1
.
1
ax ay a
x
ax ay
ax ay a
y
ax ay
11
2
3
4
5
11
5
6
11
3
5
4
11
5
7
Проективная группа часто называется дробнолинейной. При таком
преобразовании непрерывная линия на плоскости остается непрерыв
ной, прямая переходит в прямую, однако параллельность линий не со
храняется.

Страницы