Дискретная математика. Ерош И.Л - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

45
Выясним, как связаны между собой стационарные подгруппы раз
личных точек. Пусть H – стационарная подгруппа точки a в простран
стве U и пусть преобразование g переводит точку a в точку b, т. е. b = ga.
Преобразование вида ghg
–1
оставляет точку b на месте. Таким образом,
стационарной подгруппой точки b является подгруппа gHg
–1
, которая
называется сопряженной стационарной подгруппе H точки a. Посколь
ку группа G транзитивна в U, все стационарные подгруппы точек U со
пряжены между собой. Таким образом, каждому однородному про
странству U с группой преобразований G соответствует класс сопряжен
ных подгрупп в G (стационарных подгрупп точек пространства U).
3.2.3. Делители группы. Нормальные делители
Любая подгруппа G
1
группы G называется делителем группы G, по
скольку при конечном числе элементов в G порядок (число элементов)
группы G делится без остатка на порядок группы G
1
.
Пусть G
1
– делитель группы G и пусть g – элемент группы G, не вхо
дящий в G
1
. Будем называть gg
1
g
–1
элементом, преобразованным из
g
1
при помощи g. Совокупность элементов gg
1
g
–1
, где g
1
пробегает всю
группу G
1
, будем обозначать gG
1
g
–1
. Эта совокупность также образует
группу. Можно показать, что группа gG
1
g
–1
изоморфна группе G
1
. Та
кие группы называются сопряженными.
Если всякая группа gG
1
g
–1
при любом g Î G совпадает с G
1
, то G
1
называют нормальным делителем группы G.
Пример. Пусть G – группа матриц размера n ´ n с действительными
элементами, а G
1
– группа унимодулярных матриц, т. е. матриц с оп
ределителем, равным 1. Тогда G
1
есть нормальный делитель G. Дей
ствительно, так как g
1
Î G
1
, то ½g
1
½ = 1. В то же время при любом
g Î G и g
1
Î G
1
½gg
1
g
–1
½ = ½g½½g
1
½½g
–1
½ = 1. Таким образом, группа
gG
1
g
–1
тоже унимодулярна.
Можно вывести и более простой способ проверки, является ли G
1
нор
мальным делителем G. Из условия gG
1
g
–1
= G
1
следует, что gG
1
= G
1
g.
3.2.4. Фактор&группа
Пусть G – произвольная группа; G
1
– нормальный делитель. Обра
зуем множество смежных классов группы G по подгруппе G
1
вида gG
1
,
где g Î G. Введем операцию умножения на множестве смежных клас
сов (g¢G
1
) · (g²G
1
) = g¢g²G
1
, где g¢, g² Î G. Так как подгруппа G
1
являет
ся нормальным делителем группы G, то произведение g¢G
1
g²G
1
не за
висит от выбора представителей g¢ и g² в перемножаемых классах. По
кажем, что множество смежных классов образует группу.

Страницы