Составители:
Рубрика:
43
Однако не для каждого полинома существует обратный, поэтому
множество таких полиномов с операциями сложения и умножения об
разует кольцо.
3.2. Группы преобразований и линейные представления
3.2.1. Однородные пространства. Классы транзитивности
Часто множество U с элементами x Î U называют пространством
U, не наделяя его никакими свойствами. В этом случае элементы x на
зывают точками пространства U.
Пусть в пространстве U действует некоторая группа G. Если для лю
бых двух точек x и y пространства U в группе G найдется элемент та
кой, что y = gx, то U называют однородным пространством с группой
преобразований G. Группу G в этом случае называют транзитивной
группой в пространстве U. Так, например, группа вращений плоско
сти вокруг неподвижного центра О не является транзитивной на плос
кости, поскольку можно выбрать такие точки x и y на плоскости, ко
торые никаким вращением вокруг центра О совместить нельзя (x и y
находятся на разных расстояниях от центра вращения О).
Если взять любую окружность с центром в точке О, то ее точки обра
зуют однородное пространство (подпространство точек всей плоскости) с
группой вращения вокруг этого центра. Группа вращений является тран
зитивной на такой окружности. Группа движений плоскости является
транзитивной на плоскости, поскольку для любых двух точек x и y все
гда найдется такое движение g, которое совместит x и y, т. е. y = gx.
Если группа G не является транзитивной в пространстве U, то про
странство U распадается на непересекающиеся классы точек (подпро
странства) такие, что две любые точки одного подпространства можно
перевести друг в друга преобразованием некоторым элементом группы
G, а точки разных подпространств не переводятся друг в друга ника
кими преобразованиями из группы G. Такие классы точек (подпрост
ранства пространства U) называют классами транзитивности. Таким
образом, каждый класс транзитивности является однородным подпро
странством с группой преобразований G.
Например, пусть U – трехмерное евклидово пространство; G – груп
па вращений пространства вокруг центра О. Группа не является тран
зитивной во всем пространстве U, поскольку, если в качестве x и y
взять точки, находящиеся на разном расстоянии от центра О, то ни
каким вращением их нельзя совместить. Все пространство группой G
разбивается на непересекающиеся классы транзитивности (сферы раз
ных радиусов с центром в точке О). Каждая сфера является однород
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- …
- следующая ›
- последняя »
