Дискретная математика. Ерош И.Л - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

51
G и G¢, сохраняя также групповую операцию. С точки зрения теории
групп, все изоморфные группы считаются неразличимыми, так как все
имеют одинаковые свойства и для исследования можно брать любого
представителя из множества изоморфных групп.
Пример 1. Циклическая группа G
6
шестого порядка с элементами
(e, a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, a
5
) гомоморфна циклической группе G
2
второго по
рядка с элементами (E, A). Гомоморфизм f можно задать следующим
образом: f(e) = f(a
2
) = f(a
4
) = E; f(a) = f(a
3
) = f(a
5
) = A.
Пример 2. Циклическая группа C
5
пятого порядка с элементами
(e, a
1
, a
2
, a
3
, a
4
) изоморфна группе дискретных вращений правильного
пятиугольника. Изоморфизм можно задать следующим образом:
f(e) = E – отсутствие вращения;
f(a) = g – вращение на угол 2p/5 против часовой стрелки;
f(a
2
) = g
2
– вращение на угол (2p/5) · 2;
f(a
3
) = g
3
– вращение на угол (2p/5 ) · 3;
f(a
4
) = g
4
– вращение на угол (2p/5) · 4.
Каждая группа изоморфна самой себе (можно положить f(g) = g для
всех элементов g Î G) и гомоморфна единичной группе (состоящей из
одной единицы). В этом случае f(g) = 1 для всех g Î G.
Можно показать, что каждая группа гомоморфна любой своей фак
торгруппе. Более того, факторгруппы группы G – это все (с точнос
тью до изоморфизма) группы, которым гомоморфна данная группа G.
Гомоморфная группа G¢ «устроена» так же, как и факторгруппа
группы G, и «проще», чем сама группа G. В связи с этим говорят, что
гомоморфная группа представляет исходную группу неточно, а изомор
фная – точно. Известна теорема Кели, в силу которой каждая группа
конечного порядка может быть точно представлена некоторой группой
подстановок.
Пример. Группа вращений правильного nугольника может быть
точно представлена группой подстановок. Положим n = 5 и перенуме
руем вершины цифрами 1, 2, 3, 4, 5 по часовой стрелке. Тогда:
12
12345
,
12345
fe
34
5
67
89
12
12345
,
51234
fg
34
5
67
89
12
2
12345
,
45123
fg
34
5
67
89
12
3
12345
,
34512
fg
34
5
67
89
12
4
12345
.
23451
fg
34
5
67
89
Однако в практических приложениях чаще всего используются пред
ставления групп не в форме групп подстановок, а так называемые ли+
нейные представления.
Пусть дано некоторое (комплекснозначное) nмерное векторное про
странство R, в котором действуют невырожденные (имеющие обрат

Страницы