Дискретная математика. Ерош И.Л - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

52
ные) линейные операторы. Эти операторы образуют группу G¢, кото
рая может быть гомоморфной исходной группе G.
Если в пространстве R выбрать базис, то каждому линейному опе
ратору будет соответствовать квадратная невырожденная матрица по
рядка n. Если обозначить T(g) матричное представление элемента g Î G,
то T(g
1
g
2
) = T(G
1
)T(G
2
), g
1
, g
2
Î G.
Если пространство R одномерно, то T(g) – комплексное число. Ней
тральному элементу группы соответствует число 1. Заметим, что если
T – одномерное представление группы G и элементы g
1
и g
2
сопряжены
в G, т. е. g
2
= g
–1
g
1
g, где g
1
, g
2
ÎG, то T(g
2
) = T(g
–1
g
1
g) = T(g
–1
)T(g
1
)T(g) =
=[T(g)]
–1
T(g
1
)T(g) = T(g
1
).
Если группа матричных преобразований G¢ в пространстве R гомо
морфна группе G, то говорят, что G¢ является линейным представле
нием G.
3.2.9. Представление группы вращений правильного n&угольника
Рассмотрим правильный nугольник. Пусть число его вершин n для
определенности равно 5. Нас будут интересовать только такие враще
ния многоугольника вокруг центра О, которые обеспечивают самосов
мещение всех вершин. Для n = 5 это будут вращения на углы a = 0,
2p/5, 2(2p/5), 3(2p/5), 4(2p/5). В общем случае при произвольном n
эти вращения будут определяться углами a = l(2p/n), где l = 0, 1, 2,
3,..., n–1. Матрица вращения плоскости вокруг центра О на угол a мо
жет быть задана в виде
cos( ) sin( )
.
sin( ) cos( )
12 1
34
5
67
11
89
g
Таким образом, мы можем найти линейные представления группы
вращений правильного многоугольника в виде набора линейных опе
раторов (матриц поворота плоскости). Однако ранее было показано,
что группа вращений правильного nугольника изоморфна цикличес
кой группе порядка n, т. е. группе вида (e, g, g
2
, g
3
,..., g
n–1
), где g эк
вивалентен повороту на угол 2p/n.
Известно, что линейные представления циклической группы (и вся
кой коммутативной группы) одномерны. Тогда линейные представле
ния группы вращений правильного многоугольника можно найти из
следующих соотношений: T(e) = 1; T(g) = g, где g – некоторое комплек
сное число. Тогда T(g
n
) = (T(g))
n
= g
n
, но, так как g = e, то T(g
n
) = T
n
(e) = 1,
поэтому g
n
= 1, откуда g = exp[j(2p/n)a], где a = 0, 1, 2,..., n–1,
1.j 12
Придавая a различные значения, мы можем получить набор линей
ных представлений. Так, для n = 5 получим:

Страницы