Дискретная математика. Ерош И.Л - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

54
оси, проходящей, например, через центр вращения и одну из вершин.
Такой поворот обозначим через s, тогда множество различных элемен
тов так называемой диэдральной группы преобразований будет {e, g
1
,
g
2
, g
3
,..., g
n–1
, s, sg, sg
2
, sg
3
,..., sg
n–1
}. Так, при n = 5 число различных
элементов диэдральной группы преобразований равно 10. Таким обра
зом, диэдральная группа преобразований порождается двумя «образу
ющими» элементами g и s. Очевидными соотношениями между элемен
тами группы являются следующие:
g
n
= e; s
2
= e, sgs = g
n–1
. (3.1)
Справедливость третьего соотношения легко проверить, представив
диэдральную группу изоморфной группой подстановок. Так, для n = 5,
обозначив вершины многоугольника цифрами 1, 2, 3, 4, 5, получим
12345
,
12345
e
12
3
45
67
12345
,
51234
g
12
3
45
67
12345
.
15432
s
12
3
45
67
Тогда
–1
12345 12345 12345
15432 51234 15432
12345
.
23451
n
sgs
g
121212
34
565656
7 87 87 8
12
43
56
7 8
Из последнего соотношения можно получить sg
2
s = g
n–2
; sg
3
s = g
n–3
; ...;
sg
n–1
s = g.
Построим линейные представления диэдральной группы.
1. Соотношениям (3.1) удовлетворяет следующий набор значений:
T
0
(e) = 1, T
0
(g) = 1, T
0
(s) = 1. Получили единичное, т. е. неточное пред
ставление.
2. T
1
(e) = 1, T
1
(g) = 1, T
1
(s) = –1. Это представление также является
неточным.
3.
12
2
10
,
01
Te
34
5
67
89
12
2
10
.
01
Ts
34
5
67
8
9
12
2
cos( ) sin( )
.
sin( ) cos( )
Tg
34 3
56
78
33
9
Это пред
ставление является изоморфным, т. е. точным.
3.2.11. Скалярное произведение функций, заданных на группе
В пространстве функций, заданных на группе G порядка n, опреде
лим скалярное произведение следующим образом:
() ()
1
(, )
gg
gG
n
12 3
12
4
,

Страницы