Mathcad : математический практикум. Часть 2. Есипенко Д.Г - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

18
Функция
)
(
x
y
y
=
называется решением дифференциального
уравнения, если она при всех
)
,
(
b
a
x
∈
удовлетворяет уравнению
0
(
'
),
(
,
(
=
x
y
x
y
x
F
.
График решения дифференциального уравнения называют
интегральной кривой дифференциального уравнения. В дальнейшем будем
рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения , разрешенные
относительно производной, т.е. уравнения в нормальной форме :
)
,
(
'
y
x
f
y
=
.
Если дифференциальное уравнение первого порядка
)
,
(
'
y
x
f
y
=
,
G
y
x
∈
)
,
(
имеет в области
G
решение, то , вообще говоря , таких решений
бесконечно много, они могут быть заданы в виде
)
,
(
C
x
y
y
=
, где
C
-
произвольная константа , такая , что
G
C
x
y
x
∈
,
(
,
(
, и
,
(
,
(
)
,
(
'
C
x
y
x
f
C
x
y
≡
при произвольных значениях
C
. Однако если поставить задачу - найти
решение, удовлетворяющее начальному условию
00
)( yxy
=
, то при
определенных условиях такая задача имеет единственное решение. Задача об
отыскании решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего
заданному начальному условию , называется задачей Коши. Начальные
условия для обыкновенных дифференциальных уравнений называют
условиями Коши.
Рассмотрим задачу Коши
)
,
(
'
y
x
f
y
=
,
00
)( yxy
=
.
Если функция
)
,
(
y
x
f
и ее частная производная
y
yxf
∂
∂
),(
непрерывны в
области
G
,
Gyx
∈
),(
00
, то на некотором интервале
),(
00
hxhx
+
−
существует единственное решение уравнения, удовлетворяющее заданному
начальному условию .
Для дифференциального уравнения
)
,
(
'
y
x
f
y
=
теорема существования
и единственности имеет простую геометрическую интерпретацию - при
непрерывных в области
2
R
G
∈
правой части
)
,
(
y
x
f
и ее частной 
                                                     18
       Функция        y = y (x)      называется            решением       дифференциального
уравнения, если она при всех x ∈(a, b) удовлетворяет уравнению

                                    F ( x, y ( x), y ' ( x)) =0 .

     График     решения     дифференциального      уравнения называют
интегральной кривой дифференциального уравнения. В дальнейшем будем
рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные
относительно производной, т.е. уравнения в нормальной форме:

                                          y ' = f ( x, y ) .

       Если дифференциальное уравнение первого порядка                             y ' = f ( x, y ) ,
( x, y ) ∈G имеет в области G решение, то, вообще говоря, таких решений
бесконечно много, они могут быть заданы в виде y = y ( x, C ) , где C -
произвольная константа, такая, что ( x, y ( x, C )) ∈G , и y ' ( x, C ) ≡ f ( x, y ( x, C ))
при произвольных значениях C . Однако если поставить задачу - найти
решение, удовлетворяющее начальному условию y ( x0 ) = y0 , то при
определенных условиях такая задача имеет единственное решение. Задача об
отыскании решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего
заданному начальному условию, называется задачей Коши. Начальные
условия для обыкновенных дифференциальных уравнений называют
условиями Коши.
      Рассмотрим задачу Коши

                                  y ' = f ( x, y ) , y ( x0 ) = y0 .

                                                                       ∂f ( x, y )
Если функция f ( x, y ) и ее частная производная                                   непрерывны в
                                                                          ∂y
области     G,    ( x0 , y0 ) ∈G , то на некотором интервале                     ( x0 −h, x0 +h)
существует единственное решение уравнения, удовлетворяющее заданному
начальному условию.
     Для дифференциального уравнения y ' = f ( x, y ) теорема существования
и единственности имеет простую геометрическую интерпретацию - при
непрерывных в области G ∈ R 2 правой части                             f ( x, y ) и ее частной

Страницы