Mathcad : математический практикум. Часть 2. Есипенко Д.Г - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

19
производной
y
yxf
∂
∂
),(
через каждую точку Gyx
∈
],[
00
проходит только одна
интегральная кривая ),(
0
Cxyy
=
семейства
)
,
(
C
x
=
такая , что
000
),( yCxy
=
. На Рис. 4 изображено несколько интегральных кривых
уравнения
2
' yyy −= .
Рис. 4 Семейство интегральных кривых уравнения первого порядка
1.9 Уравнение с разделяющимися переменными
Для уравнения с разделяющимися переменными, имеющего вид
),()( yYxX
dx
dy
=
выражение
∫∫
=
y
y
x
x
dxxX
yY
dy
00
)(
)(
задает решение
)
(
x
=
задачи Коши с начальным условием
00
)( yxy
=
как
функцию переменной
x
неявно .
Пример. Решите задачу Коши:
)1(
'
x
x
ey
e
y
+
=
,
1
)
0
(
=
и изобразите
график решения .
Разделив переменные, получим
dx
e
e
ydy
x
x
+
=
1
. 
                                              19
               ∂f ( x, y )
производной                через каждую точку [ x0 , y0 ] ∈G проходит только одна
                  ∂y
интегральная     кривая    y = y ( x, C0 )   семейства     y = y ( x, C )   такая,   что
y ( x0 , C0 ) = y0 . На Рис. 4 изображено несколько интегральных кривых
уравнения y ' = y −y 2 .




      Рис. 4 Семейство интегральных кривых уравнения первого порядка


      1.9   Уравнение с разделяющимися переменными

     Для уравнения с разделяющимися переменными, имеющего вид
                            dy
                               = X ( x)Y ( y ),
                            dx
выражение
                                 y            x
                                    dy
                                 ∫         =  ∫X ( x )dx
                                y0 Y ( y )   x0

задает решение y = y (x) задачи Коши с начальным условием y ( x0 ) = y0 как
функцию переменной x неявно.
                                           ex
      Пример. Решите задачу Коши: y ' =            , y (0) =1 и изобразите
                                        y(1 +e x )
график решения.
     Разделив переменные, получим
                                       ex
                                ydy =       dx .
                                     1 +e x

Страницы