Mathcad : математический практикум. Часть 2. Есипенко Д.Г - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

27
1.11 Решение уравнений высших порядков и систем
дифференциальных уравнений
Обыкновенным дифференциальным уравнением
n
-го порядка
называется уравнение вида 0),...,'',',,(
)(
=
n
yyyyxF , где
F
- известная
функция
2
+
n
переменных, определенная в области
2
+
⊂
n
R
;
x
-
независимая переменная из интервала
)
,
(
b
a
;
y
- неизвестная функция ;
n
-
порядок уравнения.
Функция
)
(
x
y
y
=
называется решением дифференциального
уравнения , если она удовлетворяет уравнению
0))(),...,(''),('),(,(
)(
=xyxyxyxyxF
n
.
График решения дифференциального уравнения называют
интегральной кривой дифференциального уравнения .
В дальнейшем будем рассматривать обыкновенные дифференциальные
уравнения , разрешенные относительно старшей производной, т.е. уравнения
в нормальной форме :
),...,',,(
)1()(
−
=
nn
yyyxfy .
Дифференциальное уравнение
n
-го порядка имеет, вообще говоря ,
бесконечное множество решений . Однако задача об отыскании решения ,
удовлетворяющего начальному условию (задача Коши)
00
)( yxy
=
,
1,00
)(' yxy
=
,
1,00
)1(
)(
−
−
=
n
n
yxy
,
при определенных ограничениях на правую часть уравнения имеет
единственное решение. Справедлива следующая теорема.
Теорема.[3]. Если функция
)
,
(
y
x
f
, ),...,,(
21 n
yyyy
=
, и ее частные
производные
i
y
yxf
∂
∂
),(
,
n
i
,...,
2
,
1
=
, непрерывны в области
1
+
⊂
n
R
,
Dyyyxyx
n
∈
=
),...,,,(),(
21
, то на некотором интервале ),(
00
hxhx
+
−
существует единственное решение уравнения ),...,',,(
)1()(
−
=
nn
yyyxfy , 
                                                                 27
    1.11 Решение   уравнений                                   высших                порядков               и        систем
дифференциальных уравнений

       Обыкновенным                  дифференциальным                        уравнением                n -го        порядка
называется уравнение вида F ( x, y , y ' , y ' ' ,..., y ( n ) ) =0 , где F - известная
функция n +2 переменных, определенная в области D ⊂ R n +2 ; x -
независимая переменная из интервала ( a, b) ; y - неизвестная функция; n -
порядок уравнения.
     Функция     y = y (x )                   называется                решением               дифференциального
уравнения, если она удовлетворяет уравнению

                                     F ( x , y ( x ), y ' ( x ), y ' ' ( x),..., y ( n ) ( x)) =0 .

     График     решения    дифференциального     уравнения     называют
интегральной кривой дифференциального уравнения.
     В дальнейшем будем рассматривать обыкновенные дифференциальные
уравнения, разрешенные относительно старшей производной, т.е. уравнения
в нормальной форме:


                                              y ( n) = f ( x, y , y ' ,..., y ( n −1) ) .

     Дифференциальное уравнение n -го порядка имеет, вообще говоря,
бесконечное множество решений. Однако задача об отыскании решения,
удовлетворяющего начальному условию(задача Коши)


        y ( x0 ) = y0 ,     y ' ( x0 ) = y0,1 ,         y ( n −1) ( x0 ) =y0, n −1 ,


при определенных ограничениях на правую часть уравнения имеет
единственное решение. Справедлива следующая теорема.
     Теорема.[3]. Если функция f ( x, y ) , y =( y1, y2 ,..., yn ) , и ее частные
                     ∂f ( x, y )
производные                      ,      i =1,2,..., n , непрерывны в области                                    D ⊂ R n +1 ,
                        ∂yi
( x, y) =( x, y1, y2 ,..., yn ) ∈ D ,        то      на      некотором              интервале             ( x0 −h, x0 +h)
существует единственное решение уравнения                                              y ( n) = f ( x, y , y ' ,..., y ( n −1) ) ,

Страницы