Теоретические основы электротехники. Анализ линейных электрических цепей при установившихся режимах работы. Евсеев М.Е. - 109 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СЗТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Для схемы рис.5.4,а узловыми являются напряжения
,
и . Все
они направлены к опорному узлу "О". Если узловые напряжения известны, то
напряжения между всеми остальными узлами легко находятся в соответствии
со вторым законом Кирхгофа (рис.5.4,б) по формуле
10
U
&
20
U
&
30
U
&
=
− . (5.8 а)
km
U
&
0k
U
&
0m
U
&
В нашем примере
=
− ;
=
− ;
=
− .
12
U
&
10
U
&
20
U
&
31
U
&
30
U
&
10
U
&
23
U
&
20
U
&
30
U
&
Заметим,
что если опорный узел "0" заземлить, т.е. принять его
электрический потенциал равным 0, то тогда узловые напряжения
, и
будут являться также электрическими потенциалами узлов 1, 2 и 3.
10
U
&
20
U
&
30
U
&
Узловые напряжения являются промежуточными неизвестными данного
метода расчета. Относительно них составляется система уравнений. При этом
используется первый закон Кирхгофа. Очевидно, что узловых напряжений
меньше, чем токов ветвей. Поэтому данный метод позволяет существенно
понизить порядок системы уравнений по сравнению с непосредственным
применением 1-го и 2-го законов Кирхгофа. Рассмотрим составление системы
уравнений по методу узловых напряжений. Согласно 1-
му закону Кирхгофа,
алгебраическая сумма комплексных токов, подходящих к любому узлу цепи,
равна нулю. Каждый из этих токов определяется формулой (5.8). Тогда для
каждого узла цепи имеем
Σ
I
km
=ΣĖ
km
Y
km
+ ΣĖ
km
km
U
&
= 0 ,
или ΣY
km
(
− ) =
−ΣĖ
0k
U
&
0m
U
&
km
Y
km
.
Здесь: Σ
Ė
km
Y
km
– сумма произведений ЭДС на проводимость всех ветвей,
подходящих к рассматриваемому узлу цепи. Эти величины известны из
условий задачи; Σ
Y
km
(
−
) – сумма произведений проводимости ветвей
на напряжения ветвей, где
Y
0k
U
&
0m
U
&
km
− известные из условий задачи величины, а
и
– неизвестные узловые напряжения.
0k
U
&
0m
U
&
Опуская ряд несложных промежуточных преобразований
∗
получаем в
результате систему уравнений относительно неизвестных узловых напряжений
цепи в следующем виде:
Y
10
U
&
11
+ Y
20
U
&
12
+ Y
30
U
&
13
=
11
J
&
U Y
10
&
21
+U Y
20
&
22
+U Y
30
&
23
=
, (5.9)
22
J
&
U Y
10
&
31
+U Y
20
&
32
+U Y
30
&
33
=
33
J
&
где
,
,
–
неизвестные узловые напряжения; Y
10
U
&
20
U
&
30
U
&
11
Y
22
Y
33
–
собственные проводимости узлов, т.е. сумма проводимости всех ветвей,
подходящих к данному узлу цепи; в уравнения (5.9)
они всегда входят со
знаком
(+); Y
12
= Y
21
; Y
13
= Y
31
; Y
23
= Y
32
– взаимные проводимости узлов, т.е.
сумма проводимости всех ветвей цепи, находящихся между узлами 1-2, 1-3 и
2-3;
их численные значения всегда входят в уравнения (5.9) со знаком (−);
,
,
– известные из условий задачи величины, представляющие собой
сумму произведений ЭДС на проводимость (Σ
ĖY
11
J
&
22
J
&
33
J
&
) всех ветвей, подходящих к
∗
Подробный вывод этих уравнений имеется в [1], [2], [3], [4].
108

Страницы