Теоретические основы электротехники. Анализ линейных электрических цепей при установившихся режимах работы. Евсеев М.Е. - 216 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СЗТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

9.3. Уравнения для установившегося синусоидального режима
Пусть ток и напряжение в начале линии определяются следующими
уравнениями:
;
()
111
sin
um
tUu ψ+ω=
(
)
111
sin
im
tIi
ψ
+
ω
=
.
Определим значения тока i и напряжения u на расстоянии x от начала
линии. При решении задачи воспользуемся символическим методом (гл. 4).
В соответствии с табл.4.3 имеем следующие соответствия:
R
I
iR
&
÷ ; ILj
d
t
di
L
&
ω÷ ;
U
Gu
&
÷
; UCj
d
t
du
C
&
ω÷ .
Тогда уравнения (9.1) и (9.2) приобретают в комплексной форме записи
следующий вид:
()
;ILjR
dx
Ud
&
&
ω+=− −
(
. UCjG
dx
Id
&
&
ω+
)
(9.3)
Заметим, что в этих уравнениях частные производные заменены
на обыкновенные, так как комплексные числа
U
&
и
I
&
являются только
функциями от
x и не зависят от времени t.
Решая эту систему уравнений сначала относительно
U
&
, а затем
относительно
I
&
, после ряда простых преобразований получаем
()( )
()(
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
ω+ω+=
ω+ω+=
.
,
2
2
2
2
ICjGLjR
dx
Id
UCjGLjR
dx
Ud
&
&
&
&
)
(9.4)
Обозначим для сокращения записи коэффициент при
I
&
и
U
&
через ,
т.е. положим, что
2
γ
()
(
)
.β+α=ω+ω+=γ jCjGLjR (9.5)
Эта величина называется коэффициентом распространения. В общем
случае это комплексное число, вещественная часть которого α называется
коэффициентом затухания, а мнимая часть β - коэффициентом фазы.
Подробный анализ, выходящий за пределы данного учебного пособия,
показывает, что эти коэффициенты всегда положительны, т.е. α
>0 и β>0.
Физический смысл коэффициента распространения будет выявлен при
последующем изложении в пункте 9.5.
С учетом формулы (9.5) уравнения (9.4) приобретают следующий вид:
0
2
2
2
=γ− U
dx
Ud
&
&
;
.0
2
2
2
=γ− I
dx
Id
&
&
(9.6)
Это однородные дифференциальные уравнения второго порядка. Из
курса высшей математики известно, что общий интеграл (решение) таких
уравнений представляет собой сумму экспонент вида .
px
e
A
&
Для напряжения
U
&
получаем
.
xpxp
eАeAU
21
21
&&
&
+=
214

Страницы