Физические основы механики. Евстифеев В.В - 176 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

Момент инерции сплошного однородного шара
Разобьем шар радиусом R на тонкие слои толщиной dr перпенди-
кулярно оси вращения OO' (рис. 78). Момент инерции слоя dr с мас-
сой относительно оси OO'
равен drrdm
x
2

drrrdmdJ
xx
42
2
1
2
1

, (9)
где
22
rRr
x
. Тогда момент инерции шара
относительно оси симметрии OO' будет равен


R
R
drrRdJJ
2
22
2
1
5
22
2
30
16
3
4
5
2
2
2
1
R
RR
R 

,
где
3
3
4
Rm 
– масса шара. Следовательно,
2
5
2
mRJ
. (10)
Для тонкостенного полого шара (сферы) момент инерции равен
2
3
2
mRJ
.
Момент инерции конуса
Разобьем конус с радиусом основа-
ния R и высотой H на тонкие слои тол-
щиной dr, перпендикулярные оси сим-
метрии OO' (рис. 79). Момент инерции
слоя dr, отстоящего от вершины конуса
на расстоянии r, относительно оси
равен
OO
2
2
1
x
rdmdJ , (11)
где масса слоя .
drrdm
x
2

R
r
x
r
dr
O
O
Рис. 78
O
dr
H
O
r
x
r
R
Рис. 79
172
  Момент инерции сплошного однородного шара
   Разобьем шар радиусом R на тонкие слои толщиной dr перпенди-
кулярно оси вращения OO' (рис. 78). Момент инерции слоя dr с мас-
сой dm  r x 2dr относительно оси OO' равен
                                               1             1
                                        dJ      dm  r x 2  r x 4dr ,       (9)
                                               2             2
  dr             rx       где r x  R 2  r 2 . Тогда момент инерции шара
         r                относительно оси симметрии OO' будет равен
                  R
                                                                          
                                                         R
         O                             J   dJ 
                                                    1               2
                                                        R 2  r 2 dr 
                                                    2 R

        O                       1  2 2R 2 4R 2  16
                                   
                                    2R                 R 5 ,
                                 2         5     3  30
        Рис. 78
                                 4
                          где m  R 3 – масса шара. Следовательно,
                                 3
                                       2
                                   J  mR2 .                        (10)
                                       5
  Для тонкостенного полого шара (сферы) момент инерции равен
                                             2
                                       J      mR2 .
                                             3
  Момент инерции конуса
                                          Разобьем конус с радиусом основа-
        O                             ния R и высотой H на тонкие слои тол-
                                       щиной dr, перпендикулярные оси сим-
                                      метрии OO' (рис. 79). Момент инерции
                      r
                                       слоя dr, отстоящего от вершины конуса
                               H       на расстоянии r, относительно оси OO 
             rx
                                       равен
                          dr
                                                          1
        O                                          dJ      dm  r x 2 ,       (11)
                  R                                       2
                                       где масса слоя dm  r x 2dr .

       Рис. 79



                                             172

Страницы