Физические основы механики. Евстифеев В.В - 179 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

Момент инерции элемен
та dm относительно оси OO' равен
2
II
2
2
rrdmrdmdJ
, (2)
где (3
Введ
я единичный вектор
r
2222
zyx . )
k
вдоль оси вращения OO', можно за
сат
пи-
ь, что
zyx
zkykxkkrr
,
II
. (4)
При этом .
У я (3) и (4), формулу (2
(5) 1
222
2
zyx
kkkk
читывая уравнени ) перепишем в виде
xzzyyx
kzxkkyzkkxyk 222
zyx
kzkykxzyxdmdJ (
2
2
2
2
2
2222
],222
111[
2
2
2
2
2
2
xzzyyx
zyx
kzxkkyzkkxyk
kzkykxdm
(6)
или, принимая во внимание (5),
]222
22
2
2
xzzyyx
yxz
kzxkkyzkkxyk
kkzkk
[
2
2
22
2
xzy
ykkxdmdJ
]222
[
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
xzzyyx
yxzxzy
kzxkkyzkkxyk
kzkzkykykxkxdm
]222
[
2
22
2
22
2
22
xzzyyx
zyx
kzxkkyzkkxyk
kyxkzxkzydm
. (7)
Тогда момент инерции твердого тела будет равен

dmkzxdmkzydJJ
2
2
22
2
22
dmkyx
zyx
2
2
dmkzxkdmkyzkdmkxyk
xzzyyx
222 . ( )
Введем обозначения:
8

dmzxJ
dmzyJ
yy
xx
22
22
175
  Момент инерции элемента dm относительно оси OO' равен
                              dJ  dm  r  2  dm r 2  rII 2 ,                                   (2)
где                                          r 2  x 2  y 2  z2 .
                                                            (3)
                              
   Введя единичный вектор k вдоль оси вращения OO', можно запи-
сать, что
                          
                                               
                   rII  r , k  xk x  yk y  zk z .       (4)
        При этом                     k 2  kx2  k y2  kz2  1.                                     (5)
  Учитывая уравнения (3) и (4), формулу (2) перепишем в виде
                     dJ  dm( x 2  y 2  z 2  x 2 k x 2  y 2 k y 2  z 2 k z 2 
                      2 xyk x k y  2 yzk y k z  2 zxk z k x 
                                                              
                      dm[ x 2 1  k x 2  y 2 1  k y 2  z 2 1  k z 2                         (6)
                      2 xyk x k y  2 yzk y k z  2 zxk z k x ],
или, принимая во внимание (5),
                                                                     
      dJ  dm[ x 2 k y 2  k z 2  y 2 k x 2  k z 2  z 2 k x 2  k y 2                   
       2 xyk x k y  2 yzk y k z  2 zxk z k x ] 
       dm[ x 2 k y 2  x 2 k z 2  y 2 k x 2  y 2 k z 2  z 2 k x 2  z 2 k y 2 
       2 xyk x k y  2 yzk y k z  2 zxk z k x ] 
                                                 
       dm[ y 2  z 2 k x 2  x 2  z 2 k y 2  x 2  y 2 k z 2                  .               (7)
       2 xyk x k y  2 yzk y k z  2 zxk z k x ]
  Тогда момент инерции твердого тела будет равен
                                                                         
      J   dJ   y 2  z 2 k x 2 dm   x 2  z 2 k y 2 dm   x 2  y 2 k z 2 dm           
       2 xyk x k y dm  2 yzk y k z dm  2 zxk z k x dm .                                        (8)
  Введем обозначения:
                                             J xx          2   2
                                                           y  z dm        
                                             J yy         x   2
                                                                      z2   dm

                                                             175

Страницы