Физические основы механики. Евстифеев В.В - 215 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

(9)
2
xa
или
0
2
2
2
x
dt
xd
. (10)
Выражение (10) представляет собой динамическое уравнение об-
щего вида (линейное однородное дифференциальное уравнение вто-
рого порядка). Общее решение этого уравнения имеет вид
tCtCx
cossin
21
, (11)
где постоянные и опр
еделяются из начальных условий:
1
C
2
C
0
1
1
t
dt
dx
C
;
02
t
xC . Легко проверить, общее решение (11)
приводится к виду (1), если положить
2
2
2
10
CCx и
1
2
arctg
C
C
.
В ряде случаев, в частности при
сложении нескольких колебаний оди-
накового направления и частоты, удоб-
но представлять колебания с помощью
так называемого вектора амплитуды
(векторная диаграмма, рис. 99).
0
x
t
X
x
O
Рис. 99
10.2.2. Комплексное представление
гармонических колебаний
Часто для упрощения математических выкладок гармонические
колебания удобно представлять в комплексной форме. Из теории
комплексных чисел известно, что комплексные числа
bia
или
(где
a и b – вещественные (действительные) числа; bia
*
1i – мнимая единица) могут быть представлены в виде
210
                                                 a   x2                            (9)
                                      d 2x
или                                               2 x  0 .                        (10)
                                          dt 2
   Выражение (10) представляет собой динамическое уравнение об-
щего вида (линейное однородное дифференциальное уравнение вто-
рого порядка). Общее решение этого уравнения имеет вид
                     x  C1 sin   t  C 2 cos   t ,    (11)
где постоянные C1 и C 2 определяются из начальных условий:
       1  dx 
C1        ; C 2  xt  0 . Легко проверить, общее решение (11)
         dt t  0

приводится          к   виду       (1),      если       положить   x0  C12  C 22     и
             C2
  arctg      .
             C1
                                             В ряде случаев, в частности при
               x0
                                           сложении нескольких колебаний оди-
                                           накового направления и частоты, удоб-
          t                             но представлять колебания с помощью
O                              X           так называемого вектора амплитуды
         x                                 (векторная диаграмма, рис. 99).
              Рис. 99



    10.2.2. Комплексное представление
    гармонических колебаний
   Часто для упрощения математических выкладок гармонические
колебания удобно представлять в комплексной форме. Из теории
комплексных чисел известно, что комплексные числа   a  bi или
*  a  bi    (где a и b – вещественные (действительные) числа;
i   1 – мнимая единица) могут быть представлены в виде




                                                  210

Страницы