Составители:
Рубрика:
18 19
добавить член, характеризующий скорость генерации или уничто-
жения субстанции в элементарном объеме. Тогда общий вид урав-
нений, составляющих основу распределенных моделей, будет сле-
дующим:
∂φ
/
∂t = –div J + G, (3)
где φ – некоторая фазовая переменная, выражающая субстанцию
(плотность, энергия, импульс и т. п.); J – поток фазовой перемен-
ной; G – скорость генерации субстанции; t – время.
Поток фазовой переменной есть вектор J: J = (J
x
, J
y
, J
z
).
Дивергенция этого вектора, как и любого другого, определяет-
ся формулой
div J = ∂J
/
∂x + ∂J
/
∂y + ∂J
/
∂z
и характеризует сумму притока-стока субстанции через поверх-
ность элементарного объема.
Уравнение закона сохранения массы имеет вид
∂ρ
/
∂t = –div (ρu), (4)
где ρ – плотность массы; u – скорость.
При одномерном рассмотрении, когда отличная от нуля ско-
рость существует только в одном направлении, например направ-
лении оси x, уравнение (4) упрощается:
∂ρ
/
∂t = –∂(ρu)
/
∂x.
Уравнения закона сохранения количества движения (импульса)
без учета действия внешних сил в одномерном приближении запи-
сываются в виде
∂(ρu)
/
∂t = –∂(ρu
2
)
/
∂x – ∂p
/
∂x, (5)
где p – давление.
Уравнение закона сохранения энергии
∂(ρE)
/
∂t = –div (J
E
), (6)
где E = e + U
2
/
2 – полная энергия единицы массы; J
E
– полный по-
ток энергии; е – внутренняя энергия единицы массы.
В одномерном случае
∂(ρE)
/
∂t = –∂J
E
/
∂x.
Уравнения (3)–(6) лежат в основе ММ многих механических,
теплотехнических, гидроаэродинамических устройств при их про-
ектировании на микроуровне.
Одной из часто встречающихся задач при проектировании объ-
ектов на микроуровне является задача определения прочности
узлов и конструкций. Круг этих задач – исследование напряжен-
ных состояний конструкций и связанные с этим расчеты на проч-
ность.
Например, напряженное состояние деталей конструкций в за-
висимости от геометрии исследуемого узла вида приложенной
нагрузки и свойств материала описывается дифференциальными
уравнениями различного вида. Любое из этих уравнений может
быть получено из общего квазигармонического уравнения
,0
Q
z
Y
K
zu
Y
K
yu
Y
K
x
zyx
(7)
где x, y, z – пространственные координаты; Y – искомая непрерыв-
ная функция; K
x
, K
y
, K
z
– коэффициенты; Q – внешнее воздействие.
Уравнение (7) лежит в основе анализа любого напряженного со-
стояния деталей. С его помощью можно проанализировать напря-
женное состояние детали при растяжении, изгибе и т. п. Например,
рассмотрим напряженное состояние стержня при кручении. В двух-
мерном случае при K
x
= K
y
= 1 уравнение (7) сводится к уравнению,
описывающему возникновение напряжений в поперечном сечении
упругого однородного стержня под воздействием крутящего момен-
та М:
∂
2
Y
/
∂x
2
+ ∂
2
Y
/
∂y
2
+ 2Eθ, (8)
где Е – модуль сдвига материала стержня; θ – угол закручива-
ния на единицу длины; Y – функция, связанная с направлением
сдвига τ
x
и τ
y
уравнениями τ
x
= ∂Y
/
∂y; τ
y
= ∂Y
/
∂x. В уравнение (8)
в явной виде не входят крутящий момент, связанный с искомой
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- …
- следующая ›
- последняя »
