Составители:
Рубрика:
Центральная предельная теорема. Доказательство
Теорема. Пусть 𝜉
1
, 𝜉
2
, ... , 𝜉
𝑛
, ... есть бесконечная по-
следовательность независимых одинаково распределённых слу-
чайных величин, имеющих конечное математическое ожидание
и дисперсию. Обозначим последние 𝑎 и 𝜎
2
, соответственно.
Пусть 𝑆
𝑛
=
𝑛
𝑖=1
𝜉
𝑖
, тогда
𝑆
𝑛
− 𝑎𝑛
𝜎
√
𝑛
стремится по распреде-
лению при 𝑛 → ∞ к 𝑁(0, 1) — нормальному распределению с
нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией:
𝑆
𝑛
− 𝑎𝑛
𝜎
√
𝑛
−−−→
𝑛→∞
𝑁(0, 1).
Доказательство. Используем характеристические функ-
ции.
Пусть 𝜔
𝑖
=
1
𝜎
√
𝑛
(𝜉
𝑖
− 𝑎) .
Согласно формуле (18) 𝜂
𝜔
𝑖
(𝑡) = 1 + 𝑖𝑡𝑀[𝜔
𝑖
]−
−
𝑡
2
2
𝑀[𝜔
2
𝑖
] −
𝑖𝑡
3
6
𝑀[𝜔
3
𝑖
] + ... +
𝑖
𝑘
𝑡
𝑘
𝑘 !
𝑀[𝜔
𝑘
𝑖
] + ... . (19)
В сумме (19) 𝑀[𝜔
𝑖
] = 0 и 𝑀[𝜔
2
𝑖
] =
𝜎
2
𝜎
2
𝑛
=
1
𝑛
. При 𝑛 → ∞
𝜂
𝜔
𝑖
(𝑡) = 𝜂
𝜔
(𝑡) = 1 −
𝑡
2
2𝑛
+ 𝑜
1
𝑛
. (20)
Интересующая нас случайная величина
𝑆
𝑛
− 𝑎𝑛
𝜎
√
𝑛
=
𝑛
𝑖=1
𝜔
𝑖
и её характеристическая функция
18
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- …
- следующая ›
- последняя »
