Составители:
Рубрика:
То есть характеристическая функция суммы есть характери-
стическая функция нормального распределения с параметрами
𝑎
1
+ 𝑎
2
и 𝜎
2
1
+ 𝜎
2
2
и сумма 𝜉
1
+ 𝜉
2
распределена соответственно по
нормальному распределению 𝑁(𝑎
1
+ 𝑎
2
, 𝜎
2
1
+ 𝜎
2
2
) .
2. Если случайная величина X имеет нормальное распределе-
ние 𝑁 (0, 1), то случайная величина 𝑌 = 𝛼+𝛽𝑋 имеет нормальное
распределение 𝑁 (𝛼, 𝛽
2
).
Действительно, характеристическая функция случайной ве-
личины Y равна (см. формулы (12), (14) и (15))
𝜂
𝛼+𝛽𝑋
(𝑡) = 𝜂
𝛼
(𝑡) ⋅ 𝜂
𝛽𝑋
(𝑡) = 𝜂
𝛼
(𝑡) ⋅ 𝜂
𝑋
(𝛽𝑡) =
= exp(𝑖𝑡𝛼) ⋅ exp
(
−
𝑡
2
𝛽
2
2
)
= exp
(
𝑖𝑡𝛼 −
𝑡
2
𝛽
2
2
)
.
Характеристическая функция случайной величины
𝑌 = 𝛼 + 𝛽𝑋 есть характеристическая функция нормаль-
ного распределения с параметрами 𝛼 и 𝛽
2
. Следовательно
𝑌 = 𝛼 + 𝛽𝑋 распределена по нормальному закону 𝑁(𝛼, 𝛽
2
), что
и требовалось показать.
Пример 1.6. 𝑋
1
– случайная величина с нормальным рас-
пределением 𝑁(1, 4), а 𝑋
2
– случайная величина с нормальным
распределением 𝑁(3, 9). Найти закон распределения вероятности
для 𝑌 = 5 + 2𝑋
1
+ 7𝑋
2
.
Решение. 𝑋
1
= 1+2𝑋
0
; 𝑋
2
= 3+3𝑋
0
, где 𝑋
0
– случайная
величина, распределённая по нормальному закону 𝑁 (0, 1) .
𝑌 = 5+2(1+2𝑋
0
)+7(3+3𝑋
0
) = 5+2+21+(4+21)𝑋
0
= 28+25𝑋
0
.
Случайная величина Y имеет нормальное распределение
𝑁(28, 25
2
) = 𝑁(28, 625) .
17
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- …
- следующая ›
- последняя »
