Составители:
Рубрика:
Формула (11) – прямое преобразование Фурье, а формула
(13) – обратное преобразование Фурье. В силу единственности
преобразования Фурье, между 𝑓(𝑥) и 𝜂(𝑡) имеется однозначное
соответствие: известной плотности распределения вероятности
𝑓(𝑥) соответствует одна и только одна характеристическая
функция 𝜂(𝑡), и наоборот.
2. Если случайные величины Y и X связаны соотношением
Y = aX , то их характеристические функции связаны соотноше-
нием:
𝜂
𝑌
(𝑡) = 𝜂
𝑋
(𝑎𝑡) . (14)
Доказательство
𝜂
𝑌
(𝑡) = 𝑀[exp(𝑖𝑡𝑌 )] = 𝑀[exp(𝑖𝑡𝑎𝑋)] =
= 𝑀[exp(𝑖
˜
𝑡𝑋)] = 𝜂
𝑋
(
˜
𝑡) = 𝜂
𝑋
(𝑎𝑡) .
3. Характеристическая функция суммы независимых случай-
ных величин равна произведению характеристических функций
слагаемых: если 𝑌 = 𝑋
1
+ 𝑋
2
+ ... + 𝑋
𝑛
, то
𝜂
𝑌
(𝑡) = 𝜂
𝑋
1
(𝑡) ⋅ 𝜂
𝑋
2
(𝑡) ⋅ ⋅ ⋅ 𝜂
𝑋
𝑛
(𝑡) . (15)
Доказательство
𝜂
𝑌
(𝑡) = 𝑀[exp(𝑖𝑡𝑌 )] = 𝑀[exp(𝑖𝑡(𝑋
1
+ 𝑋
2
+ ... + 𝑋
𝑛
))] =
= 𝑀[exp(𝑖𝑡𝑋
1
) ⋅ exp(𝑖𝑡𝑋
2
) ⋅ ⋅ ⋅ exp(𝑖𝑡𝑋
𝑛
)] =
= 𝑀[exp(𝑖𝑡𝑋
1
)] ⋅ ⋅ ⋅ 𝑀[exp(𝑖𝑡𝑋
𝑛
)] = 𝜂
𝑋
1
(𝑡) ⋅ 𝜂
𝑋
2
(𝑡) ⋅ ⋅ ⋅ 𝜂
𝑋
𝑛
(𝑡) .
Если случайные величины 𝑋
𝑖
имеют одинаковое распределе-
ние (𝜂
𝑋
𝑖
(𝑡) = 𝜂
𝑋
(𝑡) ), то
𝜂
𝑌
(𝑡) = (𝜂
𝑋
(𝑡))
𝑛
. (16)
4. Характеристические функции 𝜂
𝜉
(𝑡) = 𝑀[exp(𝑖𝑡𝜉)] часто
называют производящей функцией начальных моментов.
15
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- …
- следующая ›
- последняя »
