Составители:
Рубрика:
Действительно, пусть существуют начальные моменты поряд-
ка 𝑘 = 1, 2, ... случайной величины 𝜉 , то есть ∣𝑀[𝜉
𝑘
]∣ < ∞. Тогда
характеристическая функция 𝜂
𝜉
(𝑡) непрерывно дифференцируе-
ма 𝑘 раз и её 𝑘-я производная в нуле связана с 𝑘-м моментом
равенством:
𝜂
(𝑘)
𝜉
(0) =
(
𝑑
𝑘
𝑑𝑡
𝑘
𝑀[exp(𝑖𝑡𝜉)]
)
𝑡=0
=
= (𝑀[𝑖
𝑘
𝜉
𝑘
exp(𝑖𝑡𝜉)])∣
𝑡=0
= 𝑖
𝑘
𝑀[𝜉
𝑘
] . (17)
5. Пусть существуют моменты порядка 𝑘 = 1, 2, ... случайной
величины 𝜉 , то есть ∣𝑀 [𝜉
𝑘
]∣ < ∞ . Тогда ее характеристическая
функция 𝜂
𝜉
(𝑡) в окрестности точки 𝑡 = 0 разлагается в ряд Тей-
лора:
𝜂
𝜉
(𝑡) = 𝜂
𝜉
(0)+
𝑘
∑
𝑗=1
𝑡
𝑗
𝑗 !
𝜂
(𝑗)
𝜉
(0) + 𝑜(∣𝑡
𝑘
∣) = 1+
𝑘
∑
𝑗=1
𝑖
𝑗
𝑡
𝑗
𝑗 !
𝑀[𝜉
𝑗
] + 𝑜(∣𝑡
𝑘
∣) =
= 1 + 𝑖𝑡𝑀[𝜉] −
𝑡
2
2
𝑀[𝜉
2
] + ... +
𝑖
𝑘
𝑡
𝑘
𝑘 !
𝑀[𝜉
𝑘
] + 𝑜(∣𝑡
𝑘
∣) . (18)
Замечания
1. Нормальное распределение устойчиво относительно сумми-
рования.
Пусть случайные величины 𝜉
1
и 𝜉
2
независимы и имеют нор-
мальные распределения 𝑁(𝑎
1
, 𝜎
2
1
) и 𝑁(𝑎
2
, 𝜎
2
2
) соответственно. То-
гда, согласно (12) и (15), характеристическая функция суммы
𝜉
1
+ 𝜉
2
равна
𝜂
𝜉
1
+𝜉
2
(𝑡) = 𝜂
𝜉
1
(𝑡) ⋅𝜂
𝜉
2
(𝑡) = exp
(
𝑖𝑡𝑎
1
−
𝑡
2
𝜎
2
1
2
)
⋅exp
(
𝑖𝑡𝑎
2
−
𝑡
2
𝜎
2
2
2
)
=
= exp
{
𝑖𝑡(𝑎
1
+ 𝑎
2
) −
𝑡
2
(𝜎
2
1
+ 𝜎
2
2
)
2
}
.
16
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- …
- следующая ›
- последняя »
