Составители:
Рубрика:
Пример 1.5. Найти характеристическую функцию случай-
ной величины, распределенной по нормальному закону (𝜎
2
– дис-
персия, 𝑎 – математическое ожидание)
𝑓(𝑥) =
1
√
2𝜋𝜎
exp
{
−
(𝑥 − 𝑎)
2
2𝜎
2
}
.
Согласно (11)
𝜂(𝑡) =
∫
+∞
−∞
exp(𝑖𝑡𝑥)
1
√
2𝜋𝜎
exp
{
−
(𝑥 − 𝑎)
2
2𝜎
2
}
𝑑𝑥 .
Пусть 𝑦 =
𝑥 − 𝑎
𝜎
, тогда
𝑓(𝑥) =
exp(𝑖𝑡𝑎)
√
2𝜋
∫
+∞
−∞
exp(𝑖𝑡𝑦𝜎) exp
(
−
𝑦
2
2
)
𝑑𝑦 =
=
exp
(
𝑖𝑡𝑎 −
𝑡
2
𝜎
2
2
)
√
2𝜋
∫
+∞
−∞
exp
(
−
1
2
(𝑦 −𝑖𝑡𝜎)
2
)
𝑑𝑦 .
Так как
∫
+∞
−∞
exp
(
−
1
2
(𝑦 −𝑖𝑡𝜎)
2
)
𝑑𝑦 =
√
2𝜋 ,
то искомая характеристическая функция равна
𝜂(𝑡) = exp
(
𝑖𝑡𝑎 −
𝑡
2
𝜎
2
2
)
. (12)
Свойства характеристических функций
1. Функцию 𝑓(𝑥) можно найти по известной характеристи-
ческой функции 𝜂(𝑡) по формуле
𝑓(𝑥) =
1
2𝜋
∫
+∞
−∞
exp(−𝑖𝑡𝑥)𝜂(𝑡)𝑑𝑡 . (13)
14
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- …
- следующая ›
- последняя »
