Составители:
Рубрика:
следующем виде:
¯𝜇 − 𝑝
√
𝑝(1 − 𝑝)
𝑛
−−−→
𝑛→∞
𝑁(0, 1) .
Рассмотрим пример использования интегральной теоремы
Муавра–Лапласа при решении задач.
Пример 1.3. Классическая задача. Монета подбрасывается
100, 900 и 10000 раз. Оценим в каждом из случаев вероятность
того, что частота выпадения герба отличается от половины на
одну сотую или более.
Решение. ¯𝜇 – частота выпадения герба, 𝑝 = 0.5 . Рассмот-
рим сначала вероятность противоположного события 𝑃 (∣¯𝜇 −𝑝∣ ≤
0.01) .
Случайная величина ¯𝜇 − 𝑝 имеет равное 0 математическое
ожидание и дисперсию 𝐷[¯𝜇 − 𝑝] =
𝑝(1 − 𝑝)
𝑛
=
0.25
𝑛
. Тогда
¯𝜇 − 𝑝 −→ 𝑁
(
0,
0.25
𝑛
)
и 𝑃 (∣¯𝜇 −0.5∣ ≤ 0.01) =
= 𝑃 (−0.01 ≤ ¯𝜇 − 0.5 ≤ 0.01) =
= Φ
0
(2 × 0.01
√
𝑛) − Φ
0
(−2 × 0.01
√
𝑛) = 2Φ
0
(0.02
√
𝑛) .
Таким образом,
для 𝑛 = 100 𝑃 (∣¯𝜇 − 0.5∣ ≤ 0.01) = 2Φ
0
(0.2) = 0.1586 ,
для 𝑛 = 900 𝑃 (∣¯𝜇 − 0.5∣ ≤ 0.01) = 2Φ
0
(0.6) = 0.4514 ,
для 𝑛 = 10000 𝑃 (∣¯𝜇 − 0.5∣ ≤ 0.01) = 2Φ
0
(2.0) = 0.9544 .
Ответ: 𝑃 (∣¯𝜇 − 𝑝∣ ≥ 0, 01) – вероятность того, что частота
выпадения герба отличается от половины на одну сотую или бо-
лее, для 100, 900 и 10000 бросков равна соответственно 1 – 0.1586
= 0.8414, 1 – 0.4514 = 0.5486 и 1 – 0.9544 = 0.0456.
12
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- …
- следующая ›
- последняя »
