Составители:
Рубрика:
Решение. Пусть 𝜉
𝑖
– случайное число, выработанное 𝑖-
м датчиком. Если 𝜉
𝑖
равномерно распределены в интервале
[𝛼 ; 𝛽], то [1]
𝑀[𝜉
𝑖
] = 𝑎 =
𝛼 + 𝛽
2
; 𝐷[𝜉
𝑖
] = 𝜎
2
=
(𝛽 − 𝛼)
2
12
.
В нашем случае 𝛼 = 0 и 𝛽 = 1 , соответственно
𝑀[𝜉
𝑖
] =
1
2
и
𝐷[𝜉
𝑖
] = 𝜎
2
=
(1 − 0)
2
12
=
1
12
.
Величина S, согласно центральной предельной теореме, стре-
мится к нормальному распределению 𝑁(𝑎𝑛, 𝜎
2
𝑛). Будем искать
интервал, симметричный относительно математического ожида-
ния [ 𝑎𝑛 − 𝑡𝜎
√
𝑛 ; 𝑎𝑛 + 𝑡𝜎
√
𝑛 ] , где t > 0 — параметр.
𝑃 (𝑎𝑛 − 𝑡𝜎
√
𝑛 ≤ 𝑆 ≤ 𝑎𝑛 + 𝑡𝜎
√
𝑛) = Φ
0
(𝑡) − Φ
0
(−𝑡) = 2Φ
0
(𝑡) .
По условию задачи 𝑃 ≥ 0.9 и, следовательно, 2Φ
0
(𝑡) ≥ 0.9
или Φ
0
(𝑡) ≥ 0.45 . Обратившись к таблицам значений функции
Лапласа, мы найдём, что 𝑡 ≥ 1.64 .
В результате находим искомый интервал:
[ 𝑎𝑛 −𝑡𝜎
√
𝑛 ; 𝑎𝑛 + 𝑡𝜎
√
𝑛 ] = [50 −
16.4
2
√
3
; 50 +
16.4
2
√
3
] = [45.3 ; 54.7] .
Ответ: 45.3 ≤ 𝑆 ≤ 54.7 с вероятностью не меньшей 0.9 .
1.5. Предельная (интегральная) теорема
Муавра–Лапласа
Интегральная теорема Муавра–Лапласа является следстви-
ем центральной предельной теоремы в случае, когда реализуется
схема независимых испытаний и случайная величина распреде-
лена по биномиальному закону.
Теорема. Рассмотрим схему независимых испытаний. Пусть
𝜇
𝑛
– число наступлений события А в 𝑛 независимых испытаниях
10
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- …
- следующая ›
- последняя »
