Составители:
Рубрика:
Бернулли, р – вероятность наступления события А в одном ис-
пытании. Тогда
𝜇
𝑛
− 𝑛𝑝
√
𝑛𝑝(1 − 𝑝)
стремится по распределению при
𝑛 → ∞ к 𝑁(0, 1) – нормальному распределению с нулевым ма-
тематическим ожиданием и стандартным отклонением, равным
единице:
𝜇
𝑛
− 𝑛𝑝
√
𝑛𝑝(1 − 𝑝)
−−−→
𝑛→∞
𝑁(0, 1) . (8)
Доказательство. Пусть 𝜇
𝑛
есть сумма независимых, оди-
наково распределённых случайных величин, имеющих распреде-
ление Бернулли (биномиальное распределение): 𝜇
𝑛
= 𝜉
1
+ 𝜉
2
+
... + 𝜉
𝑛
, где 𝜉
𝑖
= 1, если событие А произошло, и 𝜉
𝑖
= 0 в про-
тивоположном случае. Закон распределения для 𝜉
𝑖
имеет вид:
𝜉
𝑖
0 1
𝑝
𝑖
1 − 𝑝 𝑝
и
𝑀[𝜉
𝑖
] = 𝑎 = 𝑝, 𝐷[𝜉
𝑖
] = 𝜎
2
= 𝑝(1 − 𝑝) .
Подставляя выражения для 𝑎 и 𝜎
2
в выражение для цен-
тральной предельной теоремы (5) и положив 𝑆
𝑛
= 𝜇
𝑛
, мы
получим интегральную теорему Муавра–Лапласа (8).
Замечания
1. 𝜇
𝑛
−→ 𝑁(𝑛𝑝, 𝑛𝑝(1−𝑝)) по распределению при достаточно
больших 𝑛 .
2. Если
¯𝜇 =
𝜇
𝑛
𝑛
=
1
𝑛
𝑛
∑
𝑖=1
𝜉
𝑖
,
то мы можем переписать результат теоремы Муавра–Лапласа в
11
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- …
- следующая ›
- последняя »
