Составители:
Рубрика:
Рассмотрение предельных теорем начнём с утверждений и
теорем, объединённые общим названием – закон больших чисел.
Наиболее изящные и простые доказательства этих теорем полу-
чаются с помощью неравенства Чебышева, которое мы и рассмот-
рим в первую очередь.
1.1. Неравенство Чебышева
Если случайная величина имеет конечное математическое
ожидание и дисперсию, то для любого положительного числа 𝜖
справедливо неравенство
𝑃 (∣𝜉 − 𝑀[𝜉]∣ < 𝜖) > 1 −
𝐷[𝜉]
𝜖
2
, (1)
где 𝜉 – случайная величина, 𝑀[𝜉] и 𝐷[𝜉] – соответственно мате-
матическое ожидание и дисперсия, 𝜖 > 0 .
Доказательство. Проведем доказательство для непрерыв-
ной случайной величины с плотностью вероятности 𝑓
𝜉
(𝑥) . В этом
случае
𝐷[𝜉] =
∫
+∞
−∞
(𝑥 −𝑀[𝜉])
2
𝑓
𝜉
(𝑥)𝑑𝑥 .
Разобъём область интегрирования на две области:
∣𝑥 − 𝑀[𝜉]∣ < 𝑘𝜎[𝜉] и ∣𝑥 − 𝑀[𝜉]∣ ≥ 𝑘𝜎[𝜉] , где 𝜎[𝜉] – среднее
квдратичное отклонение ( 𝐷[𝜉] = 𝜎
2
[𝜉] ) и 𝑘 > 0 :
𝐷[𝜉] =
∫
∣𝑥−𝑀[𝜉]∣≥𝑘𝜎[𝜉]
(𝑥 − 𝑀[𝜉])
2
𝑓
𝜉
(𝑥)𝑑𝑥 +
+
∫
∣𝑥−𝑀[𝜉]∣<𝑘𝜎[𝜉]
(𝑥 − 𝑀[𝜉])
2
𝑓
𝜉
(𝑥)𝑑𝑥 .
Оба интеграла, входящих в формулу для дисперсии, неотри-
цательны (в силу неотрицательности подинтегральной функции),
отбросив второй из них и заменив в подинтегральной функции в
2
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- …
- следующая ›
- последняя »
