Составители:
Рубрика:
что и так ясно, ибо вероятность не может быть больше единицы.
Однако при 𝜖 = 3𝜎[𝜉] оценка получается более интересной и
точной:
𝑃 (∣𝜉 − 𝑀[𝜉]∣ ≥ 3𝜎[𝜉]) ≤
𝜎
2
[𝜉]
9𝜎
2
[𝜉]
=
1
9
= 0.11 .
Теоретическое же значение неравенства Чебышева очень ве-
лико.
1.2. Закон больших чисел в форме Чебышева
Пусть случайные величины 𝜉
1
, 𝜉
2
, ..., 𝜉
𝑛
, ... попарно неза-
висимы и имеют конечные дисперсии, ограниченные одной и той
же постоянной 𝐶 : 𝐷[𝜉
𝑖
] ≤ 𝐶, 𝑖 = 1, 2, ... . Тогда, для любого
𝜖 > 0 :
lim
𝑛→∞
𝑃
1
𝑛
𝑛
𝑖=1
𝜉
𝑖
−
1
𝑛
𝑛
𝑖=1
𝑀[𝜉
𝑖
]
< 𝜖
= 1 . (3)
Доказательство. Пусть в 𝜉 =
1
𝑛
𝑛
𝑖=1
𝜉
𝑖
, тогда
𝑀[𝜉] =
1
𝑛
𝑛
𝑖=1
𝑀[𝜉
𝑖
] и 𝐷[𝜉] =
1
𝑛
2
𝑛
𝑖=1
𝐷[𝜉
𝑖
] ≤
𝐶
𝑛
.
Из (2) следует:
𝑃
1
𝑛
𝑛
𝑖=1
𝜉
𝑖
−
1
𝑛
𝑛
𝑖=1
𝑀[𝜉
𝑖
]
≥ 𝜖
≤
1
𝜖
2
𝑛
2
𝑛
𝑖=1
𝐷[𝜉
𝑖
] ≤
𝐶
𝜖
2
𝑛
.
Перейдя к пределу при 𝑛 → ∞ , получаем
lim
𝑛→∞
𝑃
1
𝑛
𝑛
𝑖=1
𝜉
𝑖
−
1
𝑛
𝑛
𝑖=1
𝑀[𝜉
𝑖
]
≥ 𝜖
≤ 0 .
Так как вероятность не может быть отрицательной, то
lim
𝑛→∞
𝑃
1
𝑛
𝑛
𝑖=1
𝜉
𝑖
−
1
𝑛
𝑛
𝑖=1
𝑀[𝜉
𝑖
]
≥ 𝜖
= 0
4
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- …
- следующая ›
- последняя »
