Составители:
Рубрика:
Другими словами, сколь угодно близка к единице вероятность
того, что отклонение относительной частоты от вероятности р
по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число
испытаний n достаточно велико.
Доказательство. Из того, что случайная величина 𝜇
𝑛
распределена по биномиальному закону, имеем [1]
𝑀[𝜇
𝑛
] = 𝑛𝑝 , 𝐷[𝜇
𝑛
] = 𝑛𝑝(1 −𝑝)
и тогда
𝑀
[
𝜇
𝑛
𝑛
]
= 𝑝 , 𝐷
[
𝜇
𝑛
𝑛
]
=
𝑝(1 − 𝑝)
𝑛
.
Неравенство Чебышева (1) принимает следующий вид:
lim
𝑛→∞
𝑃
{
𝜇
𝑛
𝑛
− 𝑝
< 𝜖
}
> 1 −
𝑝(1 − 𝑝)
𝑛𝜖
2
.
Переходя к пределу в последнем неравенстве при 𝑛 → ∞ по-
лучаем формулу (4).
1.4. Центральная предельная теорема (теорема
Ляпунова)
Группа теорем, касающихся предельных законов распределе-
ния суммы случайных величин, носит общее название централь-
ной предельной теоремы.
Рассмотрим классическую формулировку центральной пре-
дельной теоремы.
Теорема. Пусть 𝜉
1
, 𝜉
2
, ... , 𝜉
𝑛
, ... есть бесконечная последо-
вательность независимых одинаково распределённых случайных
величин, имеющих конечное математическое ожидание и диспер-
сию. Обозначим последние 𝑎 и 𝜎
2
, соответственно. Тогда
𝑆
𝑛
− 𝑎𝑛
𝜎
√
𝑛
, где 𝑆
𝑛
=
∑
𝑛
𝑖=1
𝜉
𝑖
, стремится по распределению при
6
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- …
- следующая ›
- последняя »
