Составители:
Рубрика:
𝑛 → ∞ к 𝑁(0, 1) – нормальному распределению с нулевым ма-
тематическим ожиданием и стандартным отклонением, равным
единице:
𝑆
𝑛
− 𝑎𝑛
𝜎
√
𝑛
−−−→
𝑛→∞
𝑁(0, 1) . (5)
Замечания
1. 𝑆
𝑛
−→ 𝑁(𝑎𝑛, 𝜎
2
𝑛) по распределению при достаточно боль-
ших 𝑛 .
2. Если
¯
𝑆 =
1
𝑛
∑
𝑛
𝑖=1
𝜉
𝑖
, то мы можем переписать резуль-
тат центральной предельной теоремы в следующем виде:
¯
𝑆 − 𝑎
𝜎/
√
𝑛
−−−→
𝑛→∞
𝑁(0, 1) . (6)
Доказательство центральной предельной теоремы приведено
в разделе 1.6 (Характеристические функции).
Ниже мы подробно рассмотрим примеры использования
центральной предельной теоремы при решении конкретных
задач.
Пример 1.1. Игральную кость бросают 300 раз. Найти ве-
роятность того, что 1 или 2 выпадет от 85 до 115 раз.
Решение. Будем считать выпадение 1 или 2 благоприят-
ным исходом отдельного испытания (броска). Пусть 𝑟 — число
благоприятных исходов. Требуется определить 𝑃 (85 ≤ 𝑟 ≤ 115) .
Отдельные броски игральной кости можно считать независи-
мыми испытаниями и задачу можно решить, используя распреде-
ление Бернулли. Вероятность 𝑟 благоприятных исходов в серии
из 𝑛 независимых испытаний согласно формуле Бернулли равна
𝑃
𝑛
(𝑟) = 𝐶
𝑟
𝑛
𝑝
𝑟
(1 − 𝑝)
(𝑛−𝑟)
,
где p – вероятность благоприятного исхода в отдельном испыта-
нии. В нашем случае 𝑃 =
1
3
.
7
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- …
- следующая ›
- последняя »
