Составители:
Рубрика:
и соответственно
lim
𝑛→∞
𝑃
1
𝑛
𝑛
𝑖=1
𝜉
𝑖
−
1
𝑛
𝑛
𝑖=1
𝑀[𝜉
𝑖
]
> 𝜖
= 1 .
Замечания
1. Закон больших чисел устанавливает условия сходимости по
вероятности среднего арифметического 𝑛 случайных величин
к среднему арифметическому их математических ожиданий.
2. Для вывода формулы (3) достаточно потребовать, чтобы
lim
𝑛→∞
1
𝑛
2
𝐷
𝑛
𝑖=1
𝜉
𝑖
= 0 .
В этом состоит суть теоремы Маркова, которая утверждает,
что Закон больших чисел выполняется, если дисперсия суммы
слагаемых растёт не слишком быстро с ростом 𝑛 .
1.3. Теорема Бернулли
Теорема Бернулли – одна из важнейших теорем теории
вероятностей и является простейшим случаем закона больших
чисел. Впервые она была опубликована в труде Я. Бернулли
«Искусство предположений», изданном в 1713 году. Наиболее
изящное и краткое её доказательство нашёл П. Л. Чебышев в
середине 19 века.
Теорема. Рассмотрим схему независимых испытаний. Пусть
𝜇
𝑛
– число наступлений события А в 𝑛 независимых испытани-
ях Бернулли, р – вероятность наступления события А в одном
испытании. Тогда для любого 𝜖 > 0
lim
𝑛→∞
𝑃
𝜇
𝑛
𝑛
− 𝑝
< 𝜖
= 1 . (4)
5
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- …
- следующая ›
- последняя »
