Составители:
Рубрика:
первом интеграле ∣𝑥 − 𝑀[𝜉] на минимально возможное значение
𝑘𝜎[𝜉] , получим следующее неравенство:
𝐷[𝜉] ≥
∣𝑥−𝑀[𝜉]∣≥𝑘𝜎[𝜉]
(𝑥 −𝑀[𝜉])
2
𝑓
𝜉
(𝑥)𝑑𝑥 >
> 𝑘
2
𝜎
2
[𝜉]
∣𝑥−𝑀[𝜉]∣≥𝑘𝜎[𝜉]
𝑓
𝜉
(𝑥)𝑑𝑥 .
Так как, 𝑃 (𝛼 ≤ 𝜉 ≤ 𝛽) =
𝛽
𝛼
𝑓
𝜉
(𝑥)𝑑𝑥 , то
𝐷[𝜉] > 𝑘
2
𝐷[𝜉]𝑃(∣𝜉 − 𝑀 [𝜉]∣ ≥ 𝑘𝜎[𝜉])
или
1
𝑘
2
> 𝑃 (∣𝜉 −𝑀[𝜉]∣ ≥ 𝑘𝜎[𝜉]) .
Приняв во внимание, что
𝑃 (∣𝜉 −𝑀[𝜉]∣ < 𝑘𝜎[𝜉]) = 1 − 𝑃 (∣𝜉 − 𝑀[𝜉]∣ ≥ 𝑘𝜎[𝜉])
и, выбрав 𝜖 = 𝑘𝜎[𝜉] , получим неравенство Чебышева
𝑃 (∣𝜉 −𝑀[𝜉]∣ < 𝜖) > 1 −
𝐷[𝜉]
𝜖
2
.
Замечания
1. Очевидно, что
𝑃 (∣𝜉 −𝑀[𝜉]∣ ≥ 𝜖) ≤
𝐷[𝜉]
𝜖
2
. (2)
2. Неравенство Чебышева справедливо для любого закона рас-
пределения.
3. Неравенство Чебышева позволяет оценить вероятность в
том или ином случае. Обычно это довольно грубая оценка. Так
при 𝜖 = 𝜎[𝜉] мы получим:
𝑃 (∣𝜉 −𝑀[𝜉]∣ ≥ 𝜎[𝜉]) ≤
𝜎
2
[𝜉]
𝜎
2
[𝜉]
= 1 ,
3
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- …
- следующая ›
- последняя »
