Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 3 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

X R C
θ X
X × X R C (·, ·)
x
1
, x
2
, y ∈ X α
1
, α
2
∈ R C
(α
1
x
1
+ α
2
x
2
, y) = α
1
(x
1
, y) + α
2
(x
2
, y)
(y, x) = (x, y) x, y ∈ X
(y, x) = (x, y)
(x, x) ≥ 0 x ∈ X (x, x) = 0 ⇔ x = θ
(x, α
1
y
1
+ α
2
y
2
) = (x, α
1
y
1
) + (x, α
2
y
2
) (x, αy) = ¯α(x, y).
|(x, y) |
2
≤ (x, x)(y, y).
y 6= θ
α = −
(x, y)
(y, y)
(x + αy, x + αy) = (x, x) + ¯α(x, y) + α(y, x) + |α|
2
(y, y) =
= (x, x) −
|(x, y)|
2
(y, y)
−
|(x, y)|
2
(y, y)
+
|(x, y)|
2
(y, y)
,
(x, x)(y, y) − |(x, y)|
2
= (y, y)(x + αy, x + αy) ≥ 0.
x y
  Ãëàâà 1. Ðÿäû Ôóðüå â ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ


     Ÿ 1. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâàõ
   Ïóñòü X  ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåì R (èëè C) c íóëåâûì ýëåìåí-
òîì θ. Ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì â X íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ, îòîáðàæàþùàÿ
X × X â R (èëè â C), îáîçíà÷àåìàÿ (· , ·) è îáëàäàþùàÿ ñëåäóþùèìè ñâîé-
ñòâàìè:
   1) äëÿ âñåõ x1 , x2 , y ∈ X è âñåõ α1 , α2 ∈ R (èëè C)

                      (α1 x1 + α2 x2 , y) = α1 (x1 , y) + α2 (x2 , y)
(ëèíåéíîñòü ïî ïåðâîìó àðãóìåíòó);
   2) (y, x) = (x, y) äëÿ âñåõ x, y ∈ X (ýðìèòîâñêàÿ ñèììåòðè÷íîñòü, â
âåùåñòâåííîì ñëó÷àå  îáû÷íàÿ ñèììåòðè÷íîñòü: (y, x) = (x, y));
   3) (x, x) ≥ 0 äëÿ ëþáîãî x ∈ X , ïðè÷åì (x, x) = 0 ⇔ x = θ (ïîëîæèòåëü-
íàÿ îïðåäåëåííîñòü).
  Èç ñâîéñòâ 1) è 2) ñëåäóþò ðàâåíñòâà

        (x, α1 y1 + α2 y2 ) = (x, α1 y1 ) + (x, α2 y2 ) è (x, αy) = ᾱ(x, y).
   Â ïðîèçâîëüíîì ïðîñòðàíñòâå ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì èìååò ìåñòî
íåðàâåíñòâî Êîøè  Áóíÿêîâñêîãî
                               | (x, y) |2 ≤ (x, x)(y, y).
  Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî íåðàâåíñòâà (ïðè y 6= θ) äîñòàòî÷íî ïîëîæèòü
                                                (x, y)
                                      α=−
                                                (y, y)
è, âûïîëíèâ ïðåîáðàçîâàíèÿ

         (x + αy, x + αy) = (x, x) + ᾱ(x, y) + α(y, x) + |α|2 (y, y) =
                                  |(x, y)|2 |(x, y)|2 |(x, y)|2
                     = (x, x) −            −         +          ,
                                    (y, y)    (y, y)    (y, y)
çàìåòèòü, ÷òî

                (x, x)(y, y) − |(x, y)|2 = (y, y)(x + αy, x + αy) ≥ 0.
Îòñþäà âèäíî, ÷òî íåðàâåíñòâî Êîøè  Áóíÿêîâñêîãî îáðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî
òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà x è y ïðîïîðöèîíàëüíû.
   Ïðèâåäåì ïðèìåðû ñêàëÿðíûõ ïðîèçâåäåíèé â íåêîòîðûõ ëèíåéíûõ ïðî-
ñòðàíñòâàõ.

                                            3

Страницы