Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

X
lim
n→∞
x
n
= x
0
⇔ lim
n→∞
||x
n
− x
0
|| = 0.
x
n
→ x
0
y
n
→ y
0
(x
n
, y
n
) → (x
0
, y
0
)
|(x
n
, y
n
) − (x
0
, y
0
)| ≤ |(x
n
, y
n
− y
0
)| + |(x
n
− x
0
, y
0
)| ≤
≤ ||x
n
||||y
n
− y
0
|| + ||x
n
− x
0
||||y
n
||
{x
n
}
x, y ∈ X (x, y) = 0
{ϕ
k
} X {ϕ
k
}
X
(ϕ
k
, ϕ
l
) = 0 k 6= l.
{ϕ
k
} X
({ϕ
k
} − X) ⇔ (ϕ
k
, ϕ
l
) = δ
k,l
,
δ
k,l
δ
k,l
=
1, k = l,
0, k 6= l.
n ϕ
1
, ϕ
2
, . . . , ϕ
n
,
X
α
1
ϕ
1
+ α
2
ϕ
2
+ ··· + α
n
ϕ
n
θ
ϕ
1
, ϕ
2
, . . . , ϕ
n
(α
1
ϕ
1
+ α
2
ϕ
2
+ ··· + α
n
ϕ
n
= θ) ⇒ (α
1
= α
2
= ··· = α
n
= 0).
X {ϕ
k
}
{ϕ
k
} X
{ϕ
k
}
n
{ϕ
k
}
X
α
1
ϕ
1
+ α
2
ϕ
2
+ ··· + α
n
ϕ
n
= θ. (1)
Ñõîäèìîñòü â X îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñõîäèìîñòü ïî íîðìå:
                         lim xn = x0 ⇔ lim || xn − x0 || = 0.
                         n→∞                       n→∞

   Îòíîñèòåëüíî ýòîé ñõîäèìîñòè ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå íåïðåðûâíî: åñëè
xn → x0 è yn → y0 , òî (xn , yn ) → (x0 , y0 ). Ýòî ñâîéñòâî ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâ

 |(xn , yn ) − (x0 , y0 )| ≤ |(xn , yn − y0 )| + |(xn − x0 , y0 )| ≤
                                                ≤ || xn || || yn − y0 || + || xn − x0 || || yn ||
è îãðàíè÷åííîñòè ñõîäÿùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn }.
   Ýëåìåíòû x, y ∈ X íàçûâàþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè, åñëè (x, y) = 0.
   Ïóñòü {ϕk }  êîíå÷íàÿ èëè ñ÷åòíàÿ ñèñòåìà ýëåìåíòîâ â X . Ñèñòåìà {ϕk }
íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíîé â X , åñëè åå ýëåìåíòû ïîïàðíî îðòîãîíàëüíû, ò.å.
                                (ϕk , ϕl ) = 0 äëÿ k 6= l.
Ñèñòåìà {ϕk } íàçûâàåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííîé â X , åñëè îíà îðòîãîíàëüíà è
íîðìû âñåõ ýëåìåíòîâ ýòîé ñèñòåìû ðàâíû 1. Èíà÷å ãîâîðÿ,
                ({ϕk } − îðòîíîðìèðîâàíà â X) ⇔ (ϕk , ϕl ) = δk,l ,
ãäå δk,l  ñèìâîë Êðîíåêåðà, ò.å.

                                                       åñëè k = l,
                                          
                                              1,
                                 δk,l =
                                              0,       åñëè k =
                                                              6 l.
   Íàïîìíèì, ÷òî ñèñòåìà èç n ýëåìåíòîâ ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn , ëèíåéíîãî ïðîñòðàí-
ñòâà X íàçûâàåòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìîé, åñëè ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ýòèõ
ýëåìåíòîâ
                                α1 ϕ1 + α2 ϕ2 + · · · + αn ϕn
ðàâíà íóëåâîìó ýëåìåíòó θ òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà âñå êîýôôèöèåíòû
ýòîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèè íóëè. Èíà÷å ãîâîðÿ, ñèñòåìà ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn ëèíåé-
íî íåçàâèñèìà, åñëè âåðíà èìïëèêàöèÿ:
         (α1 ϕ1 + α2 ϕ2 + · · · + αn ϕn = θ) ⇒ (α1 = α2 = · · · = αn = 0).
 áåñêîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå X ñ÷åòíàÿ ñèñòåìà {ϕk } íàçûâàåòñÿ ëè-
íåéíî íåçàâèñèìîé, åñëè ëþáàÿ åå êîíå÷íàÿ ïîäñèñòåìà ëèíåéíî íåçàâèñèìà.
   Ïðåäëîæåíèå 1. Åñëè ñèñòåìà {ϕk } îðòîãîíàëüíà â X è íå ñîäåðæèò
íóëåâîãî ýëåìåíòà, òî ñèñòåìà {ϕk } ëèíåéíî íåçàâèñèìà.  ÷àñòíîñòè,
ëþáàÿ îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà ëèíåéíî íåçàâèñèìà.
   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íåêîòîðàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ n
ïåðâûõ ýëåìåíòîâ äàííîé ñèñòåìû {ϕk } ðàâíà íóëåâîìó ýëåìåíòó ïðîñòðàí-
ñòâà X :
                     α1 ϕ1 + α2 ϕ2 + · · · + αn ϕn = θ.             (1)

                                                   5

Страницы