Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

X
a
1
, a
2
, . . . , a
n
x −
n
X
k=1
a
k
ϕ
k
, x −
n
X
k=1
a
k
ϕ
k
!
= ||x||
2
− 2
n
X
k=1
a
k
(x, ϕ
k
) +
n
X
k=1
a
2
k
||ϕ
k
||
2
=
= ||x||
2
+
n
X
k=1
(a
2
k
− 2a
k
c
k
)||ϕ
k
||
2
= ||x||
2
+
n
X
k=1
(a
k
− c
k
)
2
||ϕ
k
||
2
−
n
X
k=1
c
2
k
||ϕ
k
||
2
.
X
a
1
, a
2
, . . . , a
n
x −
n
X
k=1
a
k
ϕ
k
, x −
n
X
k=1
a
k
ϕ
k
!
=
= (x, x) −
n
X
k=1
¯a
k
(x, ϕ
k
) −
n
X
k=1
a
k
(ϕ
k
, x) +
n
X
k=1
|a
k
|
2
(ϕ
k
, ϕ
k
).
(ϕ
k
, x) = (x, ϕ
k
) = ¯c
k
||ϕ
k
||
2
,
|a
k
− c
k
|
2
= (a
k
− c
k
)(¯a
k
− ¯c
k
) = |a
k
|
2
− a
k
¯c
k
− ¯a
k
c
k
+ |c
k
|
2
.
||x −
n
X
k=1
a
k
ϕ
k
||
2
= (x, x) −
n
X
k=1
¯a
k
c
k
||ϕ
k
||
2
−
n
X
k=1
a
k
¯c
k
||ϕ
k
||
2
+
n
X
k=1
|a
k
|
2
||ϕ
k
||
2
=
= ||x||
2
−
n
X
k=1
|c
k
|
2
||ϕ
k
||
2
+
n
X
k=1
|a
k
− c
k
|
2
||ϕ
k
||
2
.
2
x ∈ X
min
a
1
,...,a
n
||x −
n
X
k=1
a
k
ϕ
k
||
2
= ||x −
n
X
k=1
c
k
ϕ
k
||
2
= ||x||
2
−
n
X
k=1
|c
k
|
2
||ϕ
k
||
2
, (5)
a
k
= c
k
1 ≤ k ≤ n
x L
X
dist (x, L) = inf
y∈L
||x − y||.
   Äîêàçàòåëüñòâî.  ñëó÷àå âåùåñòâåííîãî ïðîñòðàíñòâà X äëÿ ïðîèç-
âîëüíûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë a1 , a2 , . . . , an , ïîëüçóÿñü (3), èìååì
         n              n
                               !                    n               n
        X               X                         X                 X
                                         2
    x−     ak ϕ k , x −   ak ϕk = || x|| − 2          ak (x, ϕk ) +   a2k ||ϕk ||2 =
               k=1                    k=1                                             k=1                     k=1
                  n
                  X                                                              n
                                                                                 X                                   n
                                                                                                                     X
          2
= || x|| +                (a2k                         2
                                 − 2ak ck )||ϕk || = || x|| +            2                         2
                                                                                       (ak − ck ) ||ϕk || −   2
                                                                                                                           c2k ||ϕk ||2 .
                    k=1                                                          k=1                                 k=1
  Ïóñòü òåïåðü ïðîñòðàíñòâî X êîìïëåêñíîå. Òîãäà äëÿ ëþáûõ êîìïëåêñíûõ
÷èñåë a1 , a2 , . . . , an èìååì
           n                        n
                                                    !
           X                        X
    x−              ak ϕ k , x −           ak ϕ k          =
              k=1                    k=1
                                                  n
                                                  X                               n
                                                                                  X                          n
                                                                                                             X
                                 = (x, x) −                āk (x, ϕk ) −                ak (ϕk , x) +             | ak |2 (ϕk , ϕk ).
                                                  k=1                             k=1                        k=1

Ïðåîáðàçóåì ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå ñ ïîìîùüþ ðàâåíñòâ (3) è ôîðìóë

                                           (ϕk , x) = (x, ϕk ) = c̄k ||ϕk ||2 ,
               | ak − ck |2 = (ak − ck )(āk − c̄k ) = | ak |2 − ak c̄k − āk ck + | ck |2 .
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì
         n
         X                                      n
                                                X                                 n
                                                                                  X                           n
                                                                                                              X
                           2                                                 2                         2
|| x −           ak ϕk || = (x, x) −                   āk ck ||ϕk || −                  ak c̄k ||ϕk || +            | ak |2 ||ϕk ||2 =
         k=1                                     k=1                              k=1                         k=1
                                            n
                                            X                                    n
                                                                                 X
                                     2                     2         2
                           = || x|| −             | ck | ||ϕk || +                     | ak − ck |2 ||ϕk ||2 .
                                            k=1                                  k=1
                                                                2
   Íåïîñðåäñòâåííî èç òîæäåñòâà (4) âûâîäèòñÿ ñëåäóþùåå ïðåäëîæåíèå.
   Ïðåäëîæåíèå 4. Äëÿ ëþáîãî x ∈ X ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà
                           n
                           X                                   n
                                                               X                                       n
                                                                                                       X
                                           2                                      2            2
     min || x −                   ak ϕk || = || x −                  ck ϕk || = || x|| −                     | ck |2 ||ϕk ||2 ,      (5)
    a1 ,...,an
                           k=1                                 k=1                                     k=1

ãäå ìèíèìóì äîñòèãàåòñÿ òîëüêî òîãäà, êîãäà ak = ck äëÿ 1 ≤ k ≤ n.
   Ôîðìóëà (5) âûðàæàåò ìèíèìàëüíîå ñâîéñòâî êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå.
   Ðàññòîÿíèå îò ýëåìåíòà x äî ïðîèçâîëüíîãî ïîäïðîñòðàíñòâà L ïðîñòðàí-
ñòâà X îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
                                               dist (x, L) = inf || x − y||.
                                                                     y∈L

                                                                     7

Страницы